Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки

Постановка задачи

Дана циклическая строка [math]s[/math]. Требуется отсортировать все её суффиксы. Поскольку строка циклическая, то и подстроки мы будем рассматривать циклические: под подстрокой [math]s[i..j][/math], когда [math]i \gt j[/math], понимается подстрока [math]s[i..n-1] + s[0..j][/math]. Кроме того, предварительно все индексы берутся по модулю длины строки.

Решение

Рассматриваемый алгоритм состоит из примерно [math]\log n[/math] фаз. На [math]k[/math]‐той фазе ([math]k=0..\lceil\log n\rceil [/math]) сортируются циклические подстроки длины [math]2^k[/math]. На последней, [math]\lceil\log n\rceil[/math]-ой фазе, будут сортироваться подстроки длины [math]2^{\lceil\log n\rceil} \ge n[/math], что эквивалентно сортировке циклических сдвигов.

На каждой фазе алгоритм помимо перестановки [math]p[0..n-1][/math] индексов циклических подстрок будет поддерживать для каждой циклической подстроки длиной [math]2^k[/math], начинающейся в позиции [math]i[/math], номер класса эквивалентности [math]c[i][/math], которому эта подстрока принадлежит. В самом деле, среди подстрок могут быть одинаковые, и алгоритму понадобится информация об этом. Кроме того, номера классов эквивалентности [math]c[i][/math] будем давать таким образом, чтобы они сохраняли и информацию о порядке: если один суффикс меньше другого, то и номер класса он должен получить меньший.

Описание алгоритма

На нулевой фазе мы должны отсортировать циклические подстроки длины [math]1[/math], т.е. отдельные символы строки, и разделить их на классы эквивалентности (одинаковые символы должны быть отнесены к одному классу эквивалентности). Это можно сделать сортировкой подсчётом. Для каждого символа посчитаем, сколько раз он встретился. Потом по этой информации восстановим массив [math]p[/math]. После этого проходом по массиву [math]p[/math] и сравнением символов строится массив [math]c[/math].

Далее, пусть мы выполнили [math]k-1[/math]-ю фазу (т.е. вычислили значения массивов [math]p[/math] и [math]c[/math] для неё). Научимся за [math]O(n)[/math] выполнять следующую, [math]k[/math]-ю, фазу. Поскольку фаз всего [math]O(\log n)[/math], это даст нам требуемый алгоритм с временем [math]O(n \log n)[/math].

Заметим, что циклическая подстрока длины [math]2^k[/math] состоит из двух подстрок длины [math]2^{k-1}[/math], которые мы можем сравнивать между собой за [math]O(1)[/math], используя информацию с предыдущей фазы — номера классов эквивалентности [math]c[/math]. Таким образом, для подстроки длины [math]2^k[/math], начинающейся в позиции [math]i[/math], вся необходимая информация содержится в паре чисел [math](c[i], c[i + 2^{k-1}])[/math].

Это даёт нам весьма простое решение: отсортировать подстроки длины [math]2^k[/math] просто по этим парам чисел, это и даст нам требуемый порядок, т.е. массив [math]p[/math]. Воспользуемся здесь приёмом, на котором основана цифровая сортировка: чтобы отсортировать пары, отсортируем их сначала по вторым элементам, а затем — по первым элементам (обязательно стабильной сортировкой). Однако отдельно вторые элементы уже упорядочены — этот порядок задан в массиве от предыдущей фазы. Тогда, чтобы упорядочить пары по вторым элементам, надо просто от каждого элемента массива [math]p[/math] отнять [math]2^{k-1}[/math] — это даст нам порядок сортировки пар по вторым элементам ([math]p[/math] даёт упорядочение подстрок длины [math]2^{k-1}[/math], и при переходе к строке вдвое большей длины эти подстроки становятся их вторыми половинками, поэтому от позиции второй половинки отнимается длина первой половинки).

Таким образом, мы производим сортировку по вторым элементам пар. Теперь надо произвести стабильную сортировку по первым элементам пар, её уже можно выполнить за [math]O(n)[/math] с помощью сортировки подсчётом.

Осталось только пересчитать номера классов эквивалентности [math]c[/math], просто пройдя по полученной новой перестановке [math]p[/math] и сравнивая соседние элементы (опять же, сравнивая как пары двух чисел).

Пример

s = abacaba$

Псевдокод

   calc_positions(vector &count)
        //преобразуем масив count
       for (int i = 1; i < count.size(); ++i)
           count[i] += count[i - 1]
       rotate(count, 1)
       //сдвигаем массив на 1 вправо для удобства работы с индексами
       count[0] = 0
       //теперь он содержит позиции в массиве suffs с которых 
       //необходимо вставлять подстроки, начинающиеся с соответствующих символов
   suff_array(string  &s)
       s += '#'
       int alpha_size = 255
       //На нулевом этапе сортируем подстроки длинной 1
       vector count(max(alpha_size, s.length()))
       //count -- массив для сортировки подсчетом
       fill(count, 0)
       for (int i = 0; i < s.length(); ++i)
           ++count[s[i]]
       calc_positions(count)
       vector suffs(s.length())
       //suffs будет хранить индексы начал отсортированных подстрок текущей длины
       for (int i = 0; i < s.length(); ++i)
           suffs[count[ord(s[i])]++] = i
       //подстроки длинной 1 отсортированы
       //разобьем их на классы эквивалентности
       vector<int> classes(s.length())
       int classes_count = 0
       char last_char = '#'
       for (int i = 0; i < suffs.size(); ++i)
           if s[suffs[i]] != last_char
               last_char = s[suffs[i]]
               ++classes_count
           classes[suffs[i]] = classes_count
       //нулевой этап завершен
       //на следующих этапах сортируем подстроки длиной 2 * cur_len = 2^k
       for (int cur_len = 1; cur_len <= s.length(); cur_len *= 2)
           //сортируем по второй половине подстроки
           vector sorted_by2(s.length())
           for (int i = 0; i < suffs.size(); ++i)
               if suffs[i] < cur_len
                   sorted_by2[i] = suffs[i] + s.length() - cur_len
               else
                   sorted_by2[i] = suffs[i] - cur_len
           //теперь сортируем по первой половине
           //сортировка стабильна, значит получим целиком отсортированные подстроки
           fill(count, 0)
           for (int i = 0; i < sorted_by2.size() ++i)
               ++count[classes[sorted_by2[i]]]
           calc_positions(count)
           for (int i = 0; i < s.length(); ++i)
               suffs[count[classes[sorted_by2[i]]]++] = sorted_by2[i]
           //Подстроки текущей длины отсортированы
           //перещитаем классы эквивалентности
           vector new_classes(s.length())
           new_classes[suffs[0]] = 0
           classes_count = 0
           for (int i = 1; i < new_classes.size(); ++i) 
               int mid1 = (suffs[i] + cur_len) % suffs.size()
               int mid2 = (suffs[i-1] + cur_len) % suffs.size()
               if (classes[suffs[i]] != classes[suffs[i-1]] || classes[mid1] != classes[mid2])
                   ++classes_count
               new_classes[suffs[i]] = classes_count
           copy(new_classes, classes)//сохраняем новые классы в classes
       return suffs