29
правок
Изменения
→Теорема о \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)
}}
== Теорема о <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math> == Рассмотрим пример, когда <tex> f(x) = \ln x </tex> {{Теорема|id = th2. |statement = <math> {\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) } </math>|proof= Воспользуемся ранее полученным результатом [[#th1|(оценка ряда из монотонно возрастающих <tex> f_n </tex> )]]<math> \sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt =(x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x)) </math> - оценка сверху.Также оценим снизу: <math> f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx =x \ln(x) - x </math> - оценка снизу.В итоге получаем то, что требовалось получить: <math> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </math>}}
== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \frac{1}{n \ln n} = \ln \ln x + c + o(1) </tex> ==
