Порядок элемента группы

Порядок элемента группы

Порядком элемента [math]a[/math] группы [math]G[/math] называется наименьшее [math]n\in\mathbb{N}[/math], что [math]a^n = e[/math]. Если такого [math]n[/math] не существует, то говорят, что порядок [math]a[/math] бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых [math]n,m\in\mathbb{N},\, n\gt m[/math] совпадение степеней [math]a[/math](иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок [math]a[/math] не больше [math]n-m[/math]: [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math].

Конечно порожденные группы

Пусть [math]S[/math] - подмножество элементов группы [math]G[/math]. Обозначим через [math]\langle S\rangle[/math] наименьшую подгруппу, содержащую [math]S[/math]. Ею является множество всех возможных произведений элементов [math]S[/math] и их обратных.

Если [math]\langle S\rangle = G[/math], то говорят, что [math]S[/math] является системой образующих для [math]G[/math]. [math]G[/math] называется конечно порожденной, если у нее есть конечная система образующих.

Циклические группы

Группа [math]G[/math] называется циклической, если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента [math]a[/math]. Тогда все элементы группы имеют вид [math]a^n,\,n\in\mathbb{Z}[/math].

Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.

Примерами циклических групп являются группы [math]\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] при некотором [math]n[/math], а любая бесконечная - [math]\mathbb{Z}[/math].

Классификации циклических групп

Теорема: любая конечная циклическая группа изоморфна [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math] при некотором [math]n[/math], а любая бесконечная - [math]\mathbb{Z}[/math].

Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.

Пусть порядок [math]a[/math] бесконечен. Тогда рассмотрим отображение [math]\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n[/math]. Докажем, что [math]\phi[/math] - изоморфизм. Очевидно, что [math]\phi[/math] - гомоморфизм: [math]\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)[/math]. По определению циклической группы [math]\phi[/math] сюръективен. Докажем инъективность: пусть [math]n\gt m,\,a^n=a^m[/math], тогда [math]a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e[/math], т.е. порядок [math]a[/math] конечен, что приводит к противоречию. Поэтому [math]\phi[/math] - биекция, а значит, и изоморфизм.

Пусть теперь порядок [math]a[/math] конечен и равен [math]r[/math]. Рассмотрим отображение [math]\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n[/math]. Докажем, что [math]\phi[/math] - гомоморфизм. Пусть [math]n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0[/math]. Тогда:

[math]\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m[/math]

[math]\phi[/math] сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть [math]a^n=a^m,\, n\lt m\lt r[/math], тогда [math]a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e[/math]. Но [math]r\gt m-n\gt 0[/math], т.е. [math]r[/math] - не минимальная степень [math]a[/math], равная [math]e[/math]. Противоречие. Значит, [math]\phi[/math] - биекция, следовательно, и изоморфизм.