Теорема Бейкера — Гилла — Соловэя

Теорема:

Существуют такие оракулы [math]A[/math] и [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math] и [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Существование оракула [math]A[/math]. Покажем существование такого оракула [math]A[/math], что [math]\mathrm{P^A} = \mathrm{NP^A} [/math]. Рассмотрим язык [math] \mathrm{TQBF} = \{ \Phi | \Phi \--[/math] булева формула с кванторами [math], \Phi = 1\}[/math]. [math] \mathrm{TQBF} [/math] является [math]PS[/math]-полным языком. [math] \mathrm{P} \subset \mathrm{NP} \Rightarrow \mathrm{P^{TQBF}} \subset \mathrm{NP^{TQBF}} [/math]. [math]T(p,x) \ge S(p, x)[/math], для любых [math]p, x \Rightarrow \mathrm{NP^{TQBF}} \subset \mathrm{NPS^{TQBF}}[/math]. По теореме Сэвича [math] \mathrm{NPS^{TQBF}} = \mathrm{PS^{TQBF}} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \in \mathrm{PS} \Rightarrow \mathrm{PS^{TQBF}} = \mathrm{PS} [/math]. [math] \mathrm{TQBF} \-- \mathrm{PS}[/math]-полный [math]\Rightarrow \mathrm{PS} \in \mathrm{P^{TQBF}}[/math]. Следовательно, [math]\mathrm{P^{TQBF}} = \mathrm{NP^{TQBF}}[/math]. Существование оракула [math]B[/math]. Покажем существование такого оракула [math]B[/math], что [math]\mathrm{P^B} \ne \mathrm{NP^B} [/math]. Пусть [math]B[/math] — произвольное множество, а [math]U_B = \{1^n | \exists x[/math], что [math]|x| = n\}[/math]. Ясно, что [math]\forall B: U_B \in \mathrm{NP^B}[/math] (легко написать программу, проверяющую сертификат). Построим такое множество [math]B[/math], что [math]U_B \not\in \mathrm{P^B}[/math]. Рассмотрим последовательность машин Тьюринга [math]M_i[/math], имеющих доступ к оракулу языка [math]B[/math]. Построение множество [math]B[/math] разделим на счетное число шагов. Будем строить [math]B[/math] так, чтобы на [math]i[/math]-м шаге было выполнено: [math]T(M_i, x) \ge 2^{n-1}[/math]. Очевидно, что это утверждение сильнее, чем [math]U_B \not\in \mathrm{P^B}[/math]. Начнем поэтапно строить множество [math]B[/math]. 0-й шаг: [math]B \leftarrow \emptyset [/math] [math]i[/math]-й шаг. Будем считать шаги с 0-го по [math](i-1)[/math]-й сделаны. Тогда [math]B[/math] на данном этапе — конечное множество слов. Пусть самое длинное из них состоит из [math](n-1)[/math]-го символа. Запустим машину [math]M_i[/math] на входе [math]1^n[/math] на [math]2^{n-1}[/math] шагов. Когда [math]M_i[/math] требуется ответ оракула языка [math]B[/math] о слове [math]x[/math], будем определять принадлежность этого слова к [math]B[/math]: если принадлежность [math]x[/math] множеству [math]B[/math] была определена на предыдущем шаге, то она сохраняется; если принадлежность [math]x[/math] множеству [math]B[/math] не установлена ранее, то далее считаем, что [math]x \not\in B[/math]. Но [math]M_i[/math] могла остановится раньше, чем за [math]2^{n-1}[/math] шагов и вернуть какое-либо значение. Но мы строим [math]B[/math] с условием [math]T(M_i, x) \ge 2^{n-1}[/math], поэтому решение машины должно быть неверным: если [math]M_i[/math] приняла слово, то будем считать, что выбросим из [math]B[/math] все слова вида [math]\{0,1\}^n[/math]; Если [math]M_i[/math] отклонила слово, то выберем слово [math]x[/math] длины [math]n[/math], принадлежность которого [math]B[/math] еще не определено. Тогда [math]x \in B[/math]. Такое слово всегда найдется, так как на предыдущий шагах мы могли сделать не более, чем [math]2^n-1[/math] запросов к оракулу, а всего слов длины n [math]2^n[/math]. Предположим, что [math]M_i[/math] отработала менее, чем за время [math]2^{n-1}[/math], тогда если [math]M_i[/math] допускает слово [math]1^n[/math], то в [math]B[/math] нет слова [math]1^n[/math]; если [math]M_i[/math] отклоняет слово [math]1^n[/math], то в [math]B[/math] содержится слово [math]x[/math], причем [math]|x| = n[/math]. Противоречие. Следовательно, [math]M_i[/math] не может решить язык [math]U_B[/math] за время меньшее [math]2^{n-1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]