Подгруппа

Эта статья требует доработки!

1. Необходимо привести примеры групп и их подгрупп

Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).

(исправлено)

Определение:

Если непустое подмножество [math]H[/math] элементов группы [math]G[/math] оказывается замкнутым относительно групповой операции и операции взятия обратного элемента, то [math]H[/math] образует группу и называется подгруппой группы [math]G[/math]: [math]\forall a,b\in H\subseteq G : a\cdot b\in H[/math] [math]\forall a\in H : a^{-1}\in H[/math] [math]\exists a\in H \Rightarrow e=a\cdot a^{-1} \in H[/math]

примеры:

1)Подмножество [math]n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{Z}[/math] для любого [math]n\in\mathbb{N}[/math].

2)Группа [math]G=\{m[/math] [math]mod[/math] [math]5\vert m\in\mathbb{N}\}[/math] является подгруппой в [math]\mathbb{N}[/math].

Свойства:

• Все подгруппы циклической группы являются циклическими.