Cортировка слиянием с использованием O(1) дополнительной памяти

Алгоритм слияния

На вход алгоритм получает массив, который состоит из двух отсортированных кусков:

Разобьем наш массив на [math]cnt[/math] подряд идущих блоков длиной [math]len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor [/math]. Остаток трогать не будем.

Найдем блок, содержащий конец первого отсортированного куска. Поменяем его с последним блоком. В дальнейшем будем использовать его как буфер обмена.

Отсортируем блоки по возрастанию по первому элементу (если первые элементы равны, тогда по последнему). Для этого подойдет любая квадратичная или более быстрая сортировка, которая требует [math] O (1) [/math] дополнительной памяти. Здесь нам выгодно использовать алгоритм, линейный по числу обменов, т.е. подходит сортировка выбором.

Так как блоков [math] \sqrt{n} [/math], то количество операций на этом шаге [math] O(n) [/math].

Пользуясь буфером обмена, последовательно сольем пары соседних блоков. В результате мы получим, что первые [math]len \cdot (cnt - 1)[/math] элементов исходного массива отсортированы.

Количество групп [math] \sqrt{n} [/math], и каждое слияние работает за [math] О O(\sqrt{n}) [/math] , поэтому количество операций на этом шаге [math] O(n) [/math].

[math]S[/math] - размер остатка. Используя квадратичную или более быструю сортировку, которая требует [math] O(1) [/math] дополнительной памяти, отсортируем подмассив длиной [math] 2S [/math], который находится в конце.

Теперь на последних [math] S [/math] местах будут находиться [math] S [/math] максимальных элементов. Оставшаяся часть представляет собой массив, содержащий две отсортированные части, причем размер второй равен [math] S [/math]. По аналогии с тем что делали раньше отсортируем оставшуюся часть, разделив ее на блоки длиной [math]S[/math], используя последние [math]S[/math] как буфер обмена. Не забудем после отсортировать буфер обмена.

В результате мы получили отсортированный исходный массив.

Использование буфера обмена

Попытаемся слить первый и второй блок. Поменяем местами первый блок с буфером обмена. И, как в обычном слиянии, пользуясь двумя указателями, сливаем вторую группу и только что измененный буфер. Результат начинаем записывать с начала первой группы. Чтобы не потерять данные, вместо записи используем обмен элементов. Так как блоки имеют одинаковую длину, и между указателем на второй блок и указателем на запись расстояние равно длине блока, то слияние произойдет корректно.

Ссылки и литература

• Д.Е.Кнут - Искусство программирования (том 3) упр 18 к разделу 5.2.4
• Реализация алгоритма на JAVA