Бюрократы, editor, Администраторы
422
правки
Изменения
БЕСИТЕ вы меня
{{Лемма
|about=1
|statement=<tex>L \in \mathrm{coNPC} \Leftrightarrow \overline L \in \mathrm{NPC}</tex>.
|proof=Пусть <tex>L \in \mathrm{coNPC}</tex>. Тогда <tex>L \in \mathrm{coNP}</tex> и <tex>\overline L \in \mathrm{NP}</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>\mathrm{TAUT } = \{\phi</tex> {{---}} булева формула <tex>| \forall x = (x_1, x_2, \ldots , x_m) \, \phi(x)=1\}</tex>.
}}
{{Лемма
|about=2
|statement=<tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex>.|proof=<tex>\overline {\mathrm{TAUT}} = \{\phi | \exists x : \phi(x) \ne 1\} = \{\phi | \overline {\phi} \in SAT\}</tex>, то есть <tex>\overline {\mathrm{TAUT}} \in \mathrm{NPC}</tex>. Тогда по лемме (1) <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=<tex>\mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE} \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P} = \mathrm{NP}</tex>.|author=Берман, Форчун|proof=Пусть существует <tex>S \in \mathrm{coNPC} \cap \mathrm{SPARSE}</tex>. Разрешим <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полином.
Для начала напишем программу, разрешающую <tex>\mathrm{TAUT}</tex>: <tex>check(\phi, i)</tex>:
'''if''' <tex>memo[\phi] \ne -1</tex>
'''return''' <tex>memo[\phi]</tex>
'''if''' <tex>\phi=1</tex>
'''return''' 1
<tex>memo[\phi] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1)\, \&\&\, wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex>
'''return''' <tex>memo[\phi]</tex>
Ответом будет <tex>check(\phi, 1)</tex>.
Так как <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex> и <tex>S \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{TAUT } \le S</tex>, то есть <tex>\exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : \phi \in \mathrm{TAUT } \Leftrightarrow f(\phi) \in S</tex>. Поэтому, если в предыдущей программе заменить все обращения к <tex>memo[\phi]</tex>, на <tex>memo[f(\phi)]</tex>, то полученная программа по-прежнему будет разрешать <tex>\mathrm{TAUT}</tex>.
Оценим необходимый размер <tex>memo</tex>. Можно считать, что <tex>\mathrm{T}(f(, \phi)) \le q(n)</tex>, где <tex>n = |\phi|</tex>, а <tex>q</tex> {{---}} монотонно возрастающий полином. Тогда <tex>|f(\phi)| \le q(n)</tex>. Так как <tex>S \in \mathrm{SPARSE}</tex>, то <tex>|S \cap \Sigma^k| \le p(k)</tex>, где <tex>p</tex> {{---}} полином. Можно считать, что <tex>p</tex> монотонно возрастает. Тогда размер <tex>memo</tex> можно оценить сверху: <tex>memo.size() \le \sum\limits_{i=0}^{q(n)}p(i) \le (1+q(n)) \cdot p(q(n)) \le r(n)</tex>, где <tex>r(n)</tex> {{---}} полином. <tex>check(\phi, i)</tex>:
'''if''' <tex>memo[f(\phi)] \ne -1</tex> //(1)
'''return''' <tex>memo[f(\phi)]</tex>
'''if''' <tex>\phi=1</tex>
'''return''' 1
<tex>memo[f(\phi)] \leftarrow check(\phi|_{x_i=0}, i+1)\, \&\&\, wedge check(\phi|_{x_i=1}, i+1)</tex> //(2)
'''if''' <tex>memo.size() > r(n)</tex>
'''exit''' <tex>0</tex>
Рассмотрим произвольный элемент <tex>memo[i]</tex>. Заметим, что условие <tex>(1)</tex> в ходе выполнения программы является ложным при обращении к элементу <tex>memo[i]</tex> не более одного раза. Так как всего в <tex>memo</tex> не более <tex>r(n)</tex> элементов, то суммарно за все время выполнения программы условие <tex>(1)</tex> принимает ложное значение не более <tex>r(n)</tex> раз. Отсюда следует, что присваивание <tex>(2)</tex> выполняется не более <tex>r(n)</tex> раз, а значит в дереве не более <tex>r(n)</tex> внутренних вершин. Значит всего в дереве не более <tex>2 \cdot r(n) + 1</tex> вершин, то есть данная программа работает за полиномиальное время.
Итого, данная программа разрешает <tex>\mathrm{TAUT}</tex> за полиномиальное время. А так как <tex>\mathrm{TAUT } \in \mathrm{coNPC}</tex>, то <tex>\mathrm{P}=\mathrm{coNP}</tex>, то есть <tex>\mathrm{coP}=\mathrm{coNP}</tex>, откуда <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.
}}
