|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | {{Требует доработки | | {{Требует доработки |
| − | |item1=Статью необходимо разбить на несколько отдельных статей. | + | |item1=(Исправлено)Статью необходимо разбить на несколько отдельных статей. |
| | }} | | }} |
| − |
| |
| − | ==Квадратичный закон взаимности==
| |
| | | | |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| Строка 14: |
Строка 12: |
| | Впервые теорема была сформулирована Эйлером в1783 году, а впоследствии доказана Гауссомв 1796, и имела следующую формулировку: | | Впервые теорема была сформулирована Эйлером в1783 году, а впоследствии доказана Гауссомв 1796, и имела следующую формулировку: |
| | <tex>\left(\cfrac{p}{q}\right)\neq\left(\cfrac{q}{p}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}p\equiv 3\pmod 4\\q\equiv 3\pmod 4\end{cases}</tex> | | <tex>\left(\cfrac{p}{q}\right)\neq\left(\cfrac{q}{p}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}p\equiv 3\pmod 4\\q\equiv 3\pmod 4\end{cases}</tex> |
| − | |proof=
| |
| − | Теорема приводится без доказательства.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | ==Символ Якоби==
| |
| − |
| |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Пусть <tex>n</tex> {{---}} нечетное, больше единицы и <tex>n=p_1\cdots p_s</tex>, где <tex>p_1,\cdots,p_s</tex> {{---}} простые числа. Тогда символ Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> определяется следующим равенством:
| |
| − |
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)</tex>.
| |
| − |
| |
| − | Символ Якоби является обобщением символа Лежандра, а символ Лежандра является частным случаем символа Якоби.
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | ===Свойства символа Якоби===
| |
| − |
| |
| − | Свойства символа Якоби прямо вытекают из соответствующих свойств символа Лежандра. Их доказательство оставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal1
| |
| − | |about=1
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>a_1\equiv a \pmod n\Rightarrow\left(\cfrac{a_1}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal2
| |
| − | |about=2
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal3
| |
| − | |about=3
| |
| − | |statement=
| |
| − | НОД<tex>(a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal4
| |
| − | |about=4
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=1</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal5
| |
| − | |about=5
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
| |
| − |
| |
| − | <tex>0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2</tex>
| |
| − |
| |
| − | Так как <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}</tex>, получаем: <tex>(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | {{Утверждение
| |
| − | |id=proposal6
| |
| − | |about=6
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
| |
| − | |proof=
| |
| − | Аналогично предыдущему докажем, что
| |
| − |
| |
| − | <tex>\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}\pmod 2</tex>
| |
| − |
| |
| − | Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
| |
| − |
| |
| − | <tex>0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2</tex>
| |
| − |
| |
| − | Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | ===Обобщение квадратичного закона взаимности===
| |
| − |
| |
| − | Квадратичный закон взаимности для символа Лежандра обобщается на символ Якоби следующим уравнением:
| |
| − | {{Теорема
| |
| − | |id=th2
| |
| − | |about=Обобщенный квадратичный закон взаимности
| |
| − | |statement=для любых нечетных <tex>n</tex> и <tex>m</tex> справедливо:
| |
| − |
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{m}{n}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)</tex>.
| |
| − | |proof=
| |
| − | Разложим <tex>n</tex> и <tex>m</tex> на простые числа
| |
| − |
| |
| − | <tex>n=p_1\times\cdots\times p_s\\m=q_1\times\cdots\times q_r</tex>
| |
| − |
| |
| − | Получаем
| |
| − |
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{m}{n}\right)=\prod^s_{i=1}\left(\cfrac{m}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{q_j}{p_i}\right)=\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}(-1)^{\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\sum^r_{j=1}\frac{p_i-1}{2}\frac{q_j-1}{2}}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\sum^r_{j=1}\frac{q_j-1}{2}\right)}\prod^s_{i=1}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{p_i}{q_j}\right)=(-1)^{\sum^s_{i=1}\left(\frac{p_i-1}{2}\frac{m-1}{2}\right)}\prod^r_{j=1}\left(\cfrac{n}{q_j}\right)=(-1)^{\frac{m-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{m}\right)</tex>
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | ===Алгоритм вычисления символа Якоби===
| |
| − |
| |
| − | Для вычисления символа Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> эффективно использовать следующий алгоритм:
| |
| − |
| |
| − | #Если <tex>a<0</tex>, то применяя утверждения [[#proposal2|2]] и [[#proposal5|5]], получаем <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{-a}{n}\right)\times(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>. Вычисляем <tex>\left(\cfrac{-a}{n}\right)</tex> и пропускаем последующие пункты.
| |
| − | #Если <tex>a</tex> четно, то применяя утверждения [[#proposal2|2]] и [[#proposal6|6]], получаем <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a/2}{n}\right)\times(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>. Вычисляем <tex>\left(\cfrac{a/2}{n}\right)</tex> и пропускаем последующие пункты.
| |
| − | #Если <tex>a=1</tex>, то применяя утверждение 5 <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=1</tex>, вычисление закончилось.
| |
| − | #Если <tex>a<n</tex>, то применяя [[#th2|теорему 2]] получаем <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=(-1)^{\frac{a-1}{2}\frac{n-1}{2}}\left(\cfrac{n}{a}\right)</tex>. Вычисляем <tex>\left(\cfrac{n}{a}\right)</tex> и пропускаем последующие пункты.
| |
| − | #<tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a\mod n}{n}\right)</tex>. Вычисляем <tex>\left(\cfrac{a\mod n}{n}\right)</tex>. Пирменяем алгоритм для каждого символа Якоби, который необходимо вычислить.
| |
| | [[Категория: Теория чисел]] | | [[Категория: Теория чисел]] |
