Конечно порождённая группа — различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
{{Определение | {{Определение | ||
|definition= | |definition= | ||
| − | Пусть <tex>S</tex> {{---}} подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных. | + | Пусть <tex>S</tex> {{---}} подмножество элементов [[группа|группы]] <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую [[подгруппа|подгруппу]], содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных. |
Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих. | Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих. | ||
}} | }} | ||
| − | + | === Примеры === | |
| − | + | * Любая [[циклическая группа]] является конечно порожденной. Множество <tex>S</tex> в этом случае состоит из одного элемента. | |
| − | + | * Группа целых чисел по сложению является конечно порожденной: <tex>\mathbb{Z} = \langle 1 \rangle</tex>. | |
| − | + | * [[Симметрическая группа|Группа перестановок]] множества из трех элементов: <tex>S_3 = \langle (12), (13) \rangle</tex>. | |
| + | * Группа рациональных чисел по сложению {{---}} не конечно порожденная. | ||
[[Категория: Теория групп]] | [[Категория: Теория групп]] | ||
Версия 12:40, 1 июля 2010
| Определение: |
| Пусть — подмножество элементов группы . Обозначим через наименьшую подгруппу, содержащую . Ею является множество всех возможных произведений элементов и их обратных. Если , то говорят, что является системой образующих для . называется конечно порожденной, если у нее есть конечная система образующих. |
Примеры
- Любая циклическая группа является конечно порожденной. Множество в этом случае состоит из одного элемента.
- Группа целых чисел по сложению является конечно порожденной: .
- Группа перестановок множества из трех элементов: .
- Группа рациональных чисел по сложению — не конечно порожденная.
