Заглавная страница — различия между версиями
(→Проверяемые конспекты) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
| − | = | + | == Неравенство Маркова == |
| − | + | <nowiki>Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её | |
| + | математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно | ||
| + | явным образом.</nowiki> | ||
| − | + | == Формулировка == | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | Пусть случайная величина <math>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+</math> определена на вероятностном пространстве (<math>\Omega</math>, <math>F</math>, <math>\mathbb R</math>), и ее математическое ожидание <math> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</math>. Тогда | |
| − | + | <math>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge x)\le \frac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </math> | |
| − | = | + | == Доказательство == |
| − | + | Возьмем для доказательство следующее понятие: | |
| − | + | Пусть <math> A</math> - некоторое событие. Назовем индикатором события <math>A</math> случайную величину <math>I</math>, равную единице если событие <math>A</math> произошло, и нулю в противном случае. | |
| − | + | По определению величина <math>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром <math> p = P(I(A) = 1) = P(A) </math> | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
Версия 02:21, 3 января 2013
Неравенство Маркова
Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба. Однако, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Формулировка
Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве (, , ), и ее математическое ожидание . Тогда
Доказательство
Возьмем для доказательство следующее понятие: Пусть - некоторое событие. Назовем индикатором события случайную величину , равную единице если событие произошло, и нулю в противном случае.
По определению величина имеет распределение Бернулли с параметром
