Сортировка Хана

Сортировка Хана (Yijie Han) — сложный алгоритм сортировки целых чисел со сложностью [math]O(nlog(logn))[/math], где [math]n[/math] — количество элементов для сортировки.

Алгоритм

Алгоритм построен на основе экспоненциального поискового дерева (далее - Э.П.дерево) Андерсона (Andersson's exponential search tree). Сортировка происходит за счет вставки целых чисел в Э.П.дерево.

Andersson's exponential search tree

Э.П.дерево с [math]n[/math] листьями состоит из корня [math]r[/math] и [math]n^e[/math] (0<[math]e[/math]<1) Э.П.поддеревьев, в каждом из которых [math]n^{1 - e}[/math] листьев; каждое Э.П.поддерево является сыном корня [math]r[/math]. В этом дереве [math]O(log(logn))[/math] уровней. При нарушении баланса дерева, необходимо балансирование, которое требует [math]O(nlog(logn))[/math] времени при [math]n[/math] вставленных целых числах. Такое время достигается за счет вставки чисел группами, а не по одиночке, как изначально предлагает Андерссон.

Необходимая информация

Определение:

Контейнер - объект определенного типа, содержащий обрабатываемый элемент. Например __int32, __int64, и т.д.

Определение:

Алгоритм сортирующий [math]n[/math] целых чисел из множества {0, 1, ..., [math]m[/math] - 1} называется консервативным, если длина контейнера (число бит в контейнере), является [math]O(log(m + n)).[/math] Если длина больше, то алгоритм не консервативный.

Определение:

Для множества [math]S[/math] определим min([math]S[/math]) = min([math]a[/math]:[math]a[/math] принадлежит [math]S[/math]) max([math]S[/math]) = max([math]a[/math]:[math]a[/math] принадлежит [math]S[/math]) Набор [math]S1[/math] < [math]S2[/math] если max([math]S1[/math]) <= min([math]S2[/math])

Уменьшение числа бит в числах

Один из способов ускорить сортировку - уменьшить число бит в числе. Один из способов уменьшить число бит в числе - использовать деление пополам (эту идею впервые подал van Emde Boas). Деление пополам заключается в том, что количество оставшихся бит в числе уменьшается в 2 раза. Это быстрый способ, требующий [math]O(m)[/math] памяти. Для своего дерева Андерссон использует хеширование, что позволяет сократить количество памяти до [math]O(n)[/math]. Для того, чтобы еще ускорить алгоритм нам необходимо упаковать несколько чисел в один контейнер, чтобы затем за константное количество шагов произвести хэширование для всех чисел хранимых в контейнере. Для этого используется хэш функция для хэширования [math]n[/math] чисел в таблицу размера [math]O(n^2)[/math] за константное время, без коллизий. Для этого используется хэш модифицированная функция авторства: Dierzfelbinger и Raman.

Алгоритм: Пусть целое число [math]b[/math] >= 0 и пусть [math]U[/math] = {0, ..., [math]2^b[/math] - 1}. Класс [math]H_{b,s}[/math] хэш функций из [math]U[/math] в {0, ..., [math]2^s[/math] - 1} определен как [math]H_{b,s}[/math] = {[math]h_{a}[/math]| 0 < [math]a[/math] < [math]2^b[/math], и [math]a[/math] нечетно} и для всех [math]x[/math] из [math]U[/math]: [math]h_{a}(x) = (ax[/math] mod [math]2^b[/math][math])[/math] div [math]2^{b - s}[/math]

Данный алгоритм базируется на следующей лемме:

Лемма:

Даны целые числа [math]b[/math] >= [math]s[/math] >= 0 и [math]T[/math] является подмножеством {0, ..., [math]2^b[/math] - 1}, содержащим [math]n[/math] элементов, и [math]t[/math] >= [math]2^{-s + 1}[/math] С[math]^n_{k}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

доказательство (необязательно)

[math]\triangleleft[/math]