Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем

Эта статья находится в разработке!

Основные определения

Определение:

Задача многокритериальной оптимизации формулируется следующим образом: [math]\mathrm{ maximize \{ f(x)=(f_1(x), f_2(x), \ldots ,f_d(x)) \} }[/math], где [math]\mathrm{ f(x):X \rightarrow \mathbb{R}^d }[/math] ([math]d[/math] - количество критериев).

Надо заметить, что термин [math]maximize[/math] означает оптимальность по Парето.

Определение:

Множество [math]X^* \subseteq X[/math] называется Парето оптимальным, если: [math]\mathrm{\forall x^* \subset X^* \not \exists x \subset X : x \succ x^*}[/math], где [math] x \succ x^* \leftrightarrow \left( \forall i \in 1 \ldots d: f_i(x) \gt f_i(x^*) \right) \bigwedge \left( \exists i \in 1 \ldots d: f_i(x) \gt f_i(x^*)\right)[/math]

[math]x \succ x^*[/math] читается, как "[math]x[/math] доминирует [math]x^*[/math]".

Определение:

Индикатором называется функция [math]I:\Omega \times \Omega \rightarrow R[/math], где [math]\Omega[/math] - множество всех Парето оптимальных множеств.

Применение

В работе [3] предлагают с помощью индикатора [math]I[/math] ввести следующую функцию приспособленности: [math]F(x^1)= \sum \limits_{x^2 \in P \setminus \{ x^1 \}} -e^{-I(x^2,x^1)/k}[/math], где [math]P[/math] - популяция, [math]k[/math] - некая константа, зависящая от текущей задачи. Данная функция приспособленности колличественно измеряет потери в качестве при удалении особи.

Для пересчета значений функции приспособленности, при удалении особи [math]x^*[/math] из поколения, достаточно:

[math]\forall x \in P \setminus \{x*\} :F(x) = F(x) + e^{-I(x^*,x)/k}[/math]

Индикатор гиперобъема

Существует много различных индикаторов, с помощью которых численно оценивают качество решений. Но широко используется только один.

Определение:

Индикатор называется эластичным по Парето(Pareto-compliant), если для любых двух множеств решения [math]A[/math] и [math]B[/math] значение индикатора для [math]A[/math] больше значения для [math]B[/math] тогда и только тогда, когда [math]A[/math] доминирует [math]B[/math].

Дадим определение индикатора гиперобъема[math]\left(HYP\right)[/math].

Определение:

Пусть дано множество решения [math]\mathrm{X \in R^d}[/math]. Пусть также множество всех решений усечено некоторой точкой [math]\mathrm{r = \left(r_1, r_2, \ldots, r_d \right)}[/math]. Тогда: [math]\mathrm{HYP\left(X\right)=VOL\left( \bigcup\limits_{\left(x_1, x_2, \ldots, x_d \right) \in X} \left[ r_1, x_1\right] \times \left[ r_2, x_2\right] \times \cdots \times \left[ r_d, x_d\right] \right)}[/math], где через [math]VOL(X)[/math] обозначена мера множества [math]X[/math] по Лебегу.

Пример:

Пусть [math]\mathrm{r = \left(r_1\right)}[/math] и [math]d=1[/math]. Тогда [math]HYP(X) = \prod \limits_{x_i \in X} (x_i-r_1)[/math].

Источники

1. Corne D., Knowles J., Watson R. - Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization
2. Friedrich T., Horoba C., Neumann F. - Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator
3. Kunzli S., Zitzle E. - Indicator-Based Selection in Multiobjective Search