Правильные скобочные последовательности

<wikitex>

Определения

Определение:

Скобочная последовательность — класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.

Примеры скобочных последовательностей

• $(())))($
• $)()()))()(()())$

Определение:

Правильная скобочная последовательность — частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами: "" (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность; пусть $S$ — правильная скобочная последовательность, тогда $(S)$ есть правильная скобочная последовательность; пусть $S1$, $S2$ — правильные скобочные последовательности, тогда $S1S2$ есть правильная скобочная последовательность;

Примеры правильных скобочный последовательностей

• $((()()()()))$
• $(())(()())$

Алгоритм проверки правильности скобочной последовательности

Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку $s$. Возьмем переменную $pointer$, $pointer = 0$. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $pointer$ на $1$, закрывающую — уменьшаем на $1$. Если на протяжении всего перебора $pointer$ было неотрицательным и после завершения осталось нулем, то скобочная последовательность правильна.

Псевдокод

 check(s):
   pointer = 0
   for (i = 1; i <= length(s); i++):
     pointer = (s[i] == '(')? pointer++ : pointer-- 
     if (pointer < 0)
       return false 
   if (pointer == 0)
     return true
   else
     return false

Надо отметить, что скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок. При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:

Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок

• $()[()]\{()()[]\}$ — верно
• $[(]\{\})$ — неверно

В этом случае для проверки надо будет использовать стек.

Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей

Для того чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей надо установить порядок на алфавите, например так '$($' < '$)$'. Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например "$($" < "$[$" < "$)$" < "$]$".

Примеры лексикографического порядка для $n$ и $k$, где $n$ — число открывающихся скобок, а $k$ — число видов скобок

$n = 3$	$k = 1$
$((()))$	$(()())$	$(())()$	$()(())$	$()()()$

$n = 2$	$k = 2$
$()[]$	$([])$	$[()]$	$[]()$

Алгоритм генерации лексикографического порядка будет предложен ниже.

Количество правильных скобочных последовательностей. Числа Каталана

Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.

Определение:

Числа Каталана — последовательность чисел, выражающих: количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n + 1$ листьями; количество способов соединения $2n$ точек на окружности $n$ не пересекающимися хордами; количество разбиений выпуклого $(n + 2)$-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями; количество способов полностью разделить скобками $n + 1$ множитель; количество корректных скобочных последовательностей, состоящих из $n$ открывающих и $n$ закрывающих скобок;

Рекурентная формула

$C_n = \sum_{i = 0}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$

Рекуррентную формулу легко вывести из задачи о правильных скобочных последовательностях.

Самой левой открывающей скобке $l$ соответствует определённая закрывающая скобка $r$, которая разбивает формулу на две части, каждая из которых в свою очередь является правильной скобочной последовательностью. Поэтому, если мы обозначим $i = r - l - 1$, то для любого фиксированного $r$ будет ровно $C_i C_{n-1-i}$ способов. Суммируя это по всем допустимым i, мы и получаем рекуррентную зависимость на $C_n$.

Аналитическая формула

$ C_n = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n} $

(здесь через $C_n^k$ обозначен, как обычно, биномиальный коэффициент).

Эту формулу проще всего вывести из задачи о монотонных путях. Общее количество монотонных путей в решётке размером $n \times n$ равно $C_{2n}^{n}$. Теперь посчитаем количество монотонных путей, пересекающих диагональ. Рассмотрим какой-либо из таких путей, и найдём первое ребро, которое стоит выше диагонали. Отразим относительно диагонали весь путь, идущий после этого ребра. В результате получим монотонный путь в решётке $(n - 1) \times (n + 1)$. Но, с другой стороны, любой монотонный путь в решётке $(n - 1) \times (n + 1)$ обязательно пересекает диагональ, следовательно, он получен как раз таким способом из какого-либо (причём единственного) монотонного пути, пересекающего диагональ, в решётке $n \times n$. Монотонных путей в решётке $(n - 1) \times (n + 1)$ имеется $C_{2n}^{n-1}$. В результате получаем формулу:

$ C_n = C_{2n}^{n} - C_{2n}^{n-1} = \frac{1}{n+1} C_{2n}^{n}$

Алгоритмы генерации

Генерация следующей скобочной последовательности

Пусть нам известна строка $s$, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то — "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить , заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:

 next(s): 
   pointer_close = 0
   pointer_open = 0
   for (i = length(s); i > 0; i--)
       if (s[i] == '('):
         pointer_open++ 
         if (pointer_close > pointer_open)
           break
       else 
         pointer_close++
   delete(s, length(s) - pointer_open - pointer_close + 1, pointer_close + l)
   if (s == ""):
     return false
   s = s +')'
   for (j = 1; j <= pointer_open; j++):
     s = s + '('
   for (j = 1; j < pointer_close; j++):
     s = s + ')'
   return true

Если эта функция после выполнения выводит $true$, тогда надо напечатать полученную строку $s$, если $false$, то следует вывести "No solution".

Получение лексикографического порядка

Пусть нам известно число $n$. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с $n$ открывающимися скобками:

 order (n)
   s = "";
   if (n == 0):
     result(s)  
   else
     for (j = 1; j <= n; i++)
       s = s + '(';
     for (j = 1; j <= n; i++)
       s = s + ')';
     result(s);
     t = next(s);
     while (t <> false)
       result(s);
       t = next(s);
   return

Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших $n$.

Получение номера последовательности

Пусть $n$ — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей.

Научимся считать вспомогательную динамику $d[i][j]$, где $i$ — длина скобочной последовательности (она "полуправильна": всякой закрывающей скобке имеется парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), $j$ — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), $d[i][j]$ — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа.

Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть $d[i][j]$ — величина, которую мы хотим посчитать. Если $i = 0$, то ответ понятен сразу: $d[0][0] = 1$, все остальные $d[0][j] = 0$. Пусть теперь $i > 0$, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен '(', то до этого символа мы находились в состоянии $(i-1,j-1)$. Если он был равен ')', то предыдущим было состояние $(i-1,j+1)$. Таким образом, получаем формулу:

$d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]$

(считается, что все значения $d[i][j]$ при отрицательном $j$ равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за $O(n^2)$.

Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа.

 getNumber(s)
    num = 0
    depth = 0
    for (i = 0; i < 2n; i++)
      if s[i] == '('
        depth++
      else
        num += d[2n - i - 1][depth + 1]
        depth--
    return num

Пусть теперь разрешены скобки нескольких $k$ типов. Тогда при рассмотрении текущего символа $s[i]$ до пересчёта $\rm depth$ мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс $\rm ndepth = \rm depth \pm 1$), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" - завершений (которые имеют длину $2n - i - 1$, баланс $\rm ndepth$ и $k$ типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:

$d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}$

Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из $d[2n - i - 1][{\rm ndepth}]$. Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия $k$ типов скобок. У нас имеется $2n - i - 1$ неопределённых позиций, из которых $\rm ndepth$ являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет $(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2$ пар) могут быть любого из $k$ типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа $k$.

Сложность данного алгоритма $O(n^2 + n \cdot k)$.

Получение k-й последовательности

Пусть $n$ — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному $k$ требуется найти $k$-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей.

Как и в предыдущем разделе, посчитаем динамику $d[i][j]$ — количество правильных скобочных последовательностей длины $i$ с балансом $j$.

Пусть сначала допустимы только скобки одного типа.

 getSequence(n, k)
   depth = 0
   s = ""
   for(i = 0; i < 2n; i++)
     if d[i + 1][depth + 1] >= k
       s += '('
       depth++
     else
       k -= d[i + 1][depth + 1]
       s += ')'
       depth--
   return s

Пусть теперь разрешён не один, а $k$ типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение $d[i + 1][\rm ndepth]$ на величину $k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}$, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только $2n - i - 1 - \rm ndepth$, поскольку $\rm ndepth$ скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем).

Сложность данного алгоритма $O(n^2 + n \cdot k)$.

Источники

• Скобочные последовательности, Материал из Википедии — свободной энциклопедии

• Правильная скобочная последовательность, Материал из Википедии — свободной энциклопедии

• MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности

• MAXimal :: algo :: Числа Каталана