Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю — различия между версиями
(→Теорема Ферма) |
(→Теорема Ферма) |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
Доказательство. | Доказательство. | ||
*1. <tex> a \vdots p</tex>, тогда, очевидно, <tex> a^p \vdots p</tex>. | *1. <tex> a \vdots p</tex>, тогда, очевидно, <tex> a^p \vdots p</tex>. | ||
− | *2. Рассмотрим случай '''a''' не кратного '''p'''. | + | *2. Рассмотрим случай '''a''' не кратного '''p'''. Рассмотрим приведенную систему вычетов <tex> r_1, r_2, \ldots , r_{p-1} </tex>. |
+ | Система <tex> ar_1, ar_2, \ldots , ar_{p-1} </tex> задает те же вычеты, только в другом порядке, | ||
+ | таким образом <tex> \prod_{i=1}^{p-1} ar_i \equiv \prod_{i=1}^{p-1} r_i (mod \text{ }p) </tex>, | ||
+ | сократив лишнее, получаем <tex> a^{p-1} \equiv 1(mod \text{ }p)</tex>. Домножив обе части на '''a''', получим теорему в изначально представленном виде. | ||
== Теорема Вильсона == | == Теорема Вильсона == |
Версия 05:49, 22 сентября 2010
Содержание
Сравнения по модулю
Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем.
Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.
Сравнимость для a и b записывается так :
Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:
- 1. Возможности представить a в форме , где t - целое.
- 2. Делимости на m.
Арифметика сравнений
Свойства сравнений
- 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой.
- 2. Сравнения можно почленно складывать.
- 3. Сравнения можно почленно перемножать.
- 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
- 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
- 6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
- 7. Если сравнение НОК этих модулей. имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному
- 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
- 9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делится на это число.
- 10. Если , то .
Полная и приведенная система вычетов
Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m.
Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса,
если в форме
Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при , равный самому остатку r,
называется наименьшим неотрицательным вычетом.
Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.
Согласно 10-му свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.
Решение линейных систем по модулю
Теорема Ферма
, где p — простое. Доказательство.
- 1. , тогда, очевидно, .
- 2. Рассмотрим случай a не кратного p. Рассмотрим приведенную систему вычетов .
Система
задает те же вычеты, только в другом порядке, таким образом , сократив лишнее, получаем . Домножив обе части на a, получим теорему в изначально представленном виде.