Методы генерации случайного сочетания

Постановка задачи

Необходимо сгенерировать случайное сочетание из [math] n [/math] элементов по [math]k[/math] с равномерным распределением вероятности, если есть в наличии функция для генерации случайного числа в заданном интервале.

Решение за время O(n²)

Пусть S - множество из n элементов, тогда для генерации случайного сочетания сделаем следующее:

• Выберем в множестве случайный элемент
• Добавим его в сочетание
• Удалим элемент из множества

Эту процедуру необходимо повторить [math]k[/math] раз.

Псевдокод

for i = 1 to k 
  r = rand(1..n - i + 1);
  cur = 0;
  for j = 1 to n 
    if exist[j]
      cur++;
      if cur == r
        res[i] = a[j]
        exist[j] = false;
sort(res);

Здесь [math]a[][/math] — исходный массив элементов, [math]res[][/math] — массив, где будет находиться результат, [math]exist[][/math] — такой массив, что если [math]exist[i] == 1[/math], то [math]i[/math] элемент присутствует в множестве S.

Сложность алгоритма — [math]O(n^2)[/math]

Доказательство корректности алгоритма

На первом шаге мы выбираем один элемент из [math]n[/math], на втором из [math]n - 1[/math], ..., на [math]k[/math]-ом из [math]n - k + 1[/math] То общее число исходов получится [math]n * (n - 1) * ... * (n - k + 1)[/math]. Это эквивалентно [math]{n! \over (n - k)!}[/math]. Однако заметим, что на этом шаге у нас получаются лишь размещения из [math]n[/math] по [math]k[/math]. Но все эти размещения можно сопоставить одному сочетанию, отсортировав их. И так как размещения равновероятны и каждому сочетанию сопоставлено ровно [math]k![/math] размещений, то сочетания тоже генерируются равновероятно.

Решение методом случайной перестановки

Для более быстрого решения данной задачи воспользуемся следующим алгоритмом: пусть задан для определенности массив [math]a[][/math] размера [math]n[/math], состоящий из [math]k[/math] единиц и [math]n - k[/math] нулей. Применим к нему алгоритм генерации случайной перестановки. Тогда все элементы [math]i[/math], для которых [math]a[i] = 1[/math], включим в сочетание.

Псевдокод

 for i = 1 to n 
   if i <= k
     a[i] = 1;
   else
     a[i] = 0;
 random_shuffle(a);
 for i = 1 to n
   if a[i] == 1
     insertInAnswer(i);

Доказательство корректности алгоритма

Заметим, что всего перестановок [math]n![/math], но так как наш массив состоит только из 0 и 1, то перестановка только 0 или только 1 ничего в нем не меняет. Заметим, что число перестановок нулей равно [math](n - k)![/math], единиц — [math]k![/math]. Следовательно всего уникальных перестановок — [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math]. Все они равновероятны, так как была сгенерирована случайная перестановка, а каждой уникальной перестановке сопоставлено ровно [math]k!(n - k)![/math] перестановок. Но [math]{n! \over k!(n - k)!}[/math] — число сочетаний из [math]n[/math] по [math]k[/math]. То есть каждому сочетанию сопоставляется одна уникальная перестановка. Следовательно, генерация сочетания происходит также равновероятно.

Оценка временной сложности

Алгоритм состоит из 2 невложенных циклов по [math]n[/math] итераций каждый и функции генерации случайной перестановки [math]random\_shuffle()[/math], работающей за [math]O(n)[/math] по алгоритму Фишера—Йетcа. Следовательно, сложность и всего алгоритма [math]O(n)[/math]

См. также

• Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса

Источники

• RSDN - Генерация случайных сочетаний. Генерация сочетания по его порядковому номеру