Примеры неразрешимых задач: однозначность грамматики

Теорема:

Не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной (ambiguous grammar).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Будем доказывать от противного. Для этого произведем m-сведение множества решений проблемы соответствий поста (post correspondence problem) к множеству решений нашей задачи. А так как множество решений ПСП неразрешимо, то из m-сведения будет следовать неразрешимость нашей задачи. Пусть [math] \Sigma [/math] — алфавит для постовской системы соответствия [math](x_1,\,x_2,\,...,\,x_n)[/math],[math](y_1,\,y_2,\,...,\,y_n)[/math]. Рассмотрим грамматику [math]L=\{\Sigma^{*}, N, P, S\}[/math], где [math] \Sigma^{*}= \Sigma+\{z_i\}[/math] и [math]\{z_i\}=\{z_1,\,z_2,\,...,\,z_n\}[/math] — множество символов, не встречающихся в алфавите [math] \Sigma[/math]. Символы [math] \{z_i\} [/math] можно воспринимать как номера правила, по которым мы будем выводить слова в нашей грамматике. Зададим грамматику [math]L[/math] следующими правилами: [math]S \Rightarrow A | B [/math] [math]A \Rightarrow x_iAz_i[/math] [math]A \Rightarrow \varepsilon[/math] [math]B \Rightarrow y_iBz_i[/math] [math]B \Rightarrow \varepsilon[/math] Заметим, что любое слово [math]w[/math], выводимое в этой грамматике, может быть представлено в виде [math]w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}[/math] или [math]w=y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}[/math], причем если [math]L[/math] неоднозначна, то слово можно вывести двумя способами, и тогда [math]w=x_{i1}x_{i2}...x_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1} = y_{i1}y_{i2}...y_{ik}z_{ik}z_{ik-1}...z_{i1}[/math]. Так как это одно и тоже слово, то все [math] z_{i} [/math] в этом слове равны. А каждое [math] z_{i} [/math] однозначно задает правило, по которому мы выводили слово. Значит, если бы мы умели решать сформулированную нами ПСП, то могли бы сказать однозначна грамматика или нет. То есть, если ПСП имеет решение, то мы можем восстановить два вывода слова. Если ПСП не имеет решения, то значит грамматика однозначна и не существует два вывода одного и того же слова. Таким образом, мы получили m-сведение множества решений ПСП к множеству решений нашей задачи. А это значит, что задача об однозначности грамматики неразрешима. Таким образом, не существует алгоритма, определяющего по произвольной грамматике, является ли она однозначной.

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• А. Маслов, Д. Стоцкий — Языки и автоматы. Издательство Мир, 1975, -361 с.
• ambiguous grammar - Wikipedia