Отношение рёберной двусвязности

Реберная двусвязность

Определение:

Две вершины [math]U[/math] и [math] V[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.

Теорема:

Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности. Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно) Коммутативность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно) Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math] Доказательство: Пусть [math]P_1,P_2 = u \rightsquigarrow v[/math] и [math]Q_1,Q_2 = v \rightsquigarrow w[/math] - реберно непересекащиеся пути. Выберем вершины [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math] так, что [math]P_1 \and Q_1 = (v \rightsquigarrow x_1),[/math] [math]P_2 \and Q_2 = (v \rightsquigarrow x_2)[/math] и [math](v \rightsquigarrow x_1) \and (v \rightsquigarrow x_2) = v.[/math] Получим два реберно непересекающихся пути [math]R_1 = (u \rightsquigarrow x_1) \or (x_1 \rightsquigarrow w) [/math] и [math]R_2 = (u \rightsquigarrow x_2) \or (x_2 \rightsquigarrow w). [/math] Действительно, [math] (u \rightsquigarrow x_1) \and (u \rightsquigarrow x_2) = u[/math](реберная двусвязность [math]u[/math] и [math]v[/math]). [math] (x_1 \rightsquigarrow w) \and (x_2 \rightsquigarrow w) = w[/math](реберная двусвязность [math]v[/math] и [math]w[/math]) Если [math](u \rightsquigarrow x_1) \and (x_2 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь} или [math](u \rightsquigarrow x_2) \and (x_1 \rightsquigarrow w)= [/math] {какой-то путь}, то тогда вершины [math]v[/math] и [math] w[/math] не связаны отношением реберной двусвязности.

[math]\triangleleft[/math]