Ядро и образ линейного оператора

Определение:

Ядром линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}[/math]

Определение:

Образом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}[/math] (множество значений)

Лемма:

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

{{Теорема |about=Теорема о ядре и базисе |statement = [math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X[/math] |proof= [math]Ker\mathcal{A}[/math] — подпространство [math]X[/math]

Пусть [math]\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n[/math]

[math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] — базис [math]Ker\mathcal{A}[/math]

[math]\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)[/math]

Дополним [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] до базиса [math]X[/math]. получим базис [math]\{e\}_{i = 1}^{n}[/math], где [math]n = \dim X[/math]

Докажем, что [math]Im\mathcal{A}[/math] — линейная оболочка [math]\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}[/math]

Рассмотрим [math]X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n[/math]

[math]\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}[/math]

Осталось доказать следующее: [math]\dim[/math] Л.О.[math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}[/math]

Пусть [math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}[/math] — линейно зависимы, [math]\Rightarrow[/math] существует нетривиальная линейная комбинация, что [math]\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)[/math]

Пусть [math]z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n[/math]

Рассмотрим [math]\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0[/math] в соответствии с [math](*)[/math]

Получаем, что [math]z \in Ker\mathcal{A}[/math], что противоречит выбору [math]z[/math]

Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</

Источники

• Анин конспект