Независимость определителя оператора от базиса. Теорема умножения определителей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема умножения определителей)
(Теорема умножения определителей)
Строка 6: Строка 6:
 
<tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex><br><tex>
 
<tex>\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = </tex><br><tex>
 
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = ^{(*)}</tex><br><tex>
 
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = ^{(*)}</tex><br><tex>
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} = ^{(def(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}))}</tex><br><tex>
+
(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} = ^{(def\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})}</tex><br><tex>
 
\mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) = ^{(**)}</tex><br><tex>
 
\mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) = ^{(**)}</tex><br><tex>
 
\mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})=  ^{(***)}</tex><br><tex>
 
\mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})=  ^{(***)}</tex><br><tex>

Версия 02:19, 15 июня 2013

Теорема умножения определителей

Теорема:
Пусть [math]\mathcal{A}[/math], [math]\mathcal{B} \colon X \to X[/math] (автоморфизм).
Тогда [math]\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) = \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B}[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = [/math]
[math] (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})^{\wedge_n}{e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = ^{(*)}[/math]
[math] (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_2} \land ... \land (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_n} = ^{(def\mathcal{A} \cdot \mathcal{B})}[/math]
[math] \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_1}) \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_2}) \land ... \land \mathcal{A} (\mathcal{B} {e_n}) = ^{(**)}[/math]
[math] \mathcal{A}^{\wedge_n}(\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n})= ^{(***)}[/math]
[math] \det \mathcal{A} \cdot (\mathcal{B} {e_1} \land \mathcal{B} {e_2} \land ... \land \mathcal{B} {e_n}) = ^{(***)}[/math]
[math] \det \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}^{\wedge_n}({e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n}) = [/math]
[math] \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} [/math]

т.е. [math] \det (\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) {e_1} \land {e_2} \land... \land{e_n} = [/math]
[math] \det \mathcal{A} \cdot \det \mathcal{B} \cdot {e_1} \land {e_2} \land ... \land {e_n} [/math]
[math]\triangleleft[/math]