Функция Мебиуса

Функция Мёбиуса

Определение:

Функция Мёбиуса [math] \mu (a) [/math] определяется для всех целых положительных a. Она задается равенствами: [math] \mu (a) = 0 [/math], если a делится на квадрат, отличный от 1. [math] \mu (a) = {(-1)}^k [/math], если a не делится на квадрат, где k — число простых делителей a.

Свойства

• 1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
  • [math] \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) [/math]. Если m или n [math] \vdots p^2 [/math], то [math] 0 = 0[/math]. Иначе пусть [math] n=\prod p_i, m=\prod p_j [/math], где [math] k_n, k_m [/math] — количество чисел в произведении, соответственно. [math] \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} [/math] ч.т.д.
• 2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю

[math]\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n\gt 1.\end{cases}[/math]