Гомоморфизм групп

Определение:

Отображение [math]\phi:G_1 \rightarrow G_2[/math] группы [math]\langle G_1, \cdot\rangle[/math] в группу [math]\langle G_2,\times\rangle[/math] называется гомоморфизмом, если оно сохраняет групповую структуру: [math]\forall a,b\in G_1 : \phi(a\cdot b) = \phi(a)\times \phi(b)[/math]

Обозначения: [math]e(G_i)[/math] единица в [math]G_i[/math]-ой группе.

Определение:

[math]\textrm{ker}\phi=\{x\in G_1\vert\phi(x)=e(G_2)\}[/math] — ядро гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math].

Определение:

[math]\textrm{im}\phi=\{y\in G_2\vert\exists x\in G_1:\phi(x)=y\}[/math] — образ гомоморфизма [math]\phi:G_1\rightarrow G_2[/math].

В качестве примера возьмём отображение [math] h \colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[/math], определённое следующим образом: [math] h(x) = x \mod 3 [/math], — а в качестве бинарной операции возьмём сложение. Ядром такого гомоморфизма будут числа, кратные трём.

Свойства гомоморфизмов групп

Утверждение:

Гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный ([math]e_1\in G_1[/math] в [math]e_2 \in G_2[/math]).

[math]\triangleright[/math]

По определению гомоморфизма имеем: [math]\phi(e_1)\times\phi(e_1) = \phi(e_1\cdot e_1)=\phi(e_1)[/math]. Умножая с обеих сторон на обратный к [math]\phi(e_1)[/math] элемент, получим: [math]\phi(e_1) \times \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1} = \phi(e_1) \times (\phi(e_1))^{-1}[/math] [math]\phi(e_1) \times e_2 = \phi(e_1) = e_2[/math], что и требовалось доказать. Заметим, что доказательство опирается на существование обратного элемента, для моноидов аналогичное утверждение неверно.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Гомоморфизм переводит обратный элемент в обратный: [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\phi(x)\times\phi(x^{-1})=\phi(x\cdot x^{-1})=e_2=\phi(x^{-1}\cdot x)=\phi(x^{-1})\times\phi(x)[/math] что вместе с единственностью обратного к [math]\phi(x)[/math] элемента означает [math]\phi(x)^{-1}=\phi(x^{-1})[/math].

[math]\triangleleft[/math]

См. также

• Циклическая группа

Ссылки

• Wikipedia — Group homomorphism
• Homomorphism examples