Теорема Татта о существовании полного паросочетания — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связ...»)
 
Строка 4: Строка 4:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> количество нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>.  
+
|definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> число нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>.  
 
}}
 
}}
 +
 +
==Критерий Татта==
 +
Рассмотрим <tex>G'</tex> {{---}} надграф <tex>G</tex>, в <tex>G'</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра, при этом <tex>\left\vert V(G) \right\vert = \left\vert V(G') \right\vert = n</tex>
 +
 +
Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>.
 +
{{Лемма
 +
|statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов.
 +
|proof=
 +
}}
  
 
== Теорема Татта ==
 
== Теорема Татта ==
Строка 14: Строка 23:
 
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>.
 
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>.
  
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>, так как иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности. Таким образом, получаем, что  
+
Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
<tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>.
+
<tex>\Leftarrow</tex>  
<tex>\Leftarrow</tex>
 
 
}}
 
}}

Версия 23:56, 12 декабря 2013

Определение:
Нечетная компонента связности графа [math]G[/math] — компонента связности, содержащая нечетное число вершин.


Определение:
Обозначим за [math]o(G)[/math] число нечетных компонент связности в графе [math]G[/math].


Критерий Татта

Рассмотрим [math]G'[/math] — надграф [math]G[/math], в [math]G'[/math] нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра, при этом [math]\left\vert V(G) \right\vert = \left\vert V(G') \right\vert = n[/math]

Пусть [math] U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}[/math].

Лемма:
[math]G' \setminus U[/math] — объединение несвязных полных графов.

Теорема Татта

Теорема:
В графе [math]G[/math] существует полное паросочетание [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\forall S \subset V(G)[/math] выполнено условие: [math]o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Рассмотрим [math]M[/math] — полное паросочетание в графе [math]G[/math] и множество вершин [math]S \subset V(G)[/math].

Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа [math] G \setminus S[/math] соединена ребром паросочетания [math]M[/math] с какой-то вершиной из [math]S[/math]. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что [math]o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert[/math].

[math]\Leftarrow[/math]
[math]\triangleleft[/math]