Теорема Татта о существовании полного паросочетания — различия между версиями
Maryann (обсуждение | вклад) (Новая страница: «{{Определение |definition ='''Нечетная компонента связности''' графа <tex>G</tex> {{---}} компонента связ...») |
|||
Строка 4: | Строка 4: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
− | |definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> | + | |definition =Обозначим за <tex>o(G)</tex> число нечетных компонент связности в графе <tex>G</tex>. |
}} | }} | ||
+ | |||
+ | ==Критерий Татта== | ||
+ | Рассмотрим <tex>G'</tex> {{---}} надграф <tex>G</tex>, в <tex>G'</tex> нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра, при этом <tex>\left\vert V(G) \right\vert = \left\vert V(G') \right\vert = n</tex> | ||
+ | |||
+ | Пусть <tex> U = \{ v \in V: deg_{G'} (v) = n - 1 \}</tex>. | ||
+ | {{Лемма | ||
+ | |statement= <tex>G' \setminus U</tex> {{---}} объединение несвязных полных графов. | ||
+ | |proof= | ||
+ | }} | ||
== Теорема Татта == | == Теорема Татта == | ||
Строка 14: | Строка 23: | ||
<tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>. | <tex>\Rightarrow</tex> Рассмотрим <tex>M</tex> {{---}} полное паросочетание в графе <tex>G</tex> и множество вершин <tex>S \subset V(G)</tex>. | ||
− | Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex> | + | Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа <tex> G \setminus S</tex> соединена ребром паросочетания <tex>M</tex> с какой-то вершиной из <tex>S</tex>. Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. |
− | <tex>o(G \setminus S) \leqslant \left\vert S \right\vert</tex>. | + | <tex>\Leftarrow</tex> |
− | <tex>\Leftarrow</tex> | ||
}} | }} |
Версия 23:56, 12 декабря 2013
Определение: |
Нечетная компонента связности графа | — компонента связности, содержащая нечетное число вершин.
Определение: |
Обозначим за | число нечетных компонент связности в графе .
Критерий Татта
Рассмотрим
— надграф , в нет полного паросочетания, но оно появляется при добавлении любого ребра, при этомПусть
.Лемма: |
— объединение несвязных полных графов. |
Теорема Татта
Теорема: |
В графе существует полное паросочетание выполнено условие: |
Доказательство: |
Рассмотрим — полное паросочетание в графе и множество вершин . Одна из вершин каждой нечетной компоненты связности графа соединена ребром паросочетания с какой-то вершиной из . Иначе мы не сможем покрыть паросочетанием все вершины этой компоненты связности и получим противоречие с тем, что полное паросочетание существует по условию теоремы. Таким образом, получаем, что . |