Рефлексивное отношение

В математике бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении [math]R[/math] с самим собой.

Определение:

Отношение [math]R[/math] называется рефлексивным, если [math]\forall a \in X:\ (a R a)[/math].

Свойство рефлексивности при заданных отношениях графом состоит в том, что каждая вершина имеет петлю — дугу (x, x), а матрица смежности этого графа на главной диагонали имеет единицы.

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества [math]X[/math], то отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным.

Определение:

Отношение [math]R[/math] называется антирефлексивным, если [math]\forall a \in X:\ \neg (a R a)[/math].

Если антирефлексивное отношение задано графом, то ни у одной вершины не будет петли - дуги (x, x), а в матрице смежности на главной диагонали будут нули.

Примеры рефлексивных отношений

• Отношения эквивалентности:
  • отношение равенства [math]=\;[/math];
  • отношение сравнимости по модулю;
  • отношение параллельности прямых и плоскостей;
  • отношение подобия геометрических фигур.
• Отношения частичного порядка:
  • отношение нестрогого неравенства [math]\leqslant[/math];
  • отношение нестрогого подмножества [math] \subseteq [/math];
  • отношение делимости [math]\,\vdots\,[/math];
• Отношение "иметь одинаковый цвет волос";
• Отношение "принадлежать одному виду".

Примеры антирефлексивных отношений

• отношение строгого неравенства [math]\lt \;[/math];
• отношение строгого подмножества [math]\subset[/math];
• отношение "быть родителем".

Источники

Wikipedia