Примеры матроидов

Матричный матроид

Определение:

Пусть [math]V[/math] - векторное пространство над телом [math]F[/math], пусть набор векторов [math]V_i = \mathcal{f} v_1,...,v_n\mathcal {g}[/math] из пространства [math]V[/math] является носителем [math]X[/math]. Элементами независимого множества [math]I[/math] данного матроида являются множества линейно-независимых векторов из набора [math]v_1,...,v_n[/math]. Тогда [math]M = \langle V_i, I \rangle [/math], называется матричным матроидом (vector matroid)

Лемма:

Матричный матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I[/math] Множество в котором нет векторов является линейно-независимым. 2) [math]A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Если из набора линейно-независимых векторов убрать некоторые, то этот набор не станет зависимым. 3) [math]| A | \lt | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] Пусть не так. Тогда [math]\forall x \in B \setminus A[/math] множество векторов [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g}[/math] - линейно зависимо. Значит оно образует базис в пространстве векторов [math]U[/math] "натянутом" на множество векторов [math]A \cup B[/math]. Но тогда [math]| A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} | \gt | B | [/math], так как мощность базиса больше мощности любого линейно-независимого множества, а [math]B[/math] - линейно-независимо. Противоречие с условием. По условию [math]| A | + 1 \leq | B | [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Графовый матроид

Определение:

Пусть [math]G = \langle V, E \rangle[/math] - неориентированный граф. Тогда [math]M = \langle E, I \rangle [/math], где [math]I[/math] состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют графовым (графическим) матроидом (graphic matroid).

Лемма:

Графовый матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I[/math] Пустое множество является ациклическим, а значит входит в [math]I[/math]. 2) [math]A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в [math]I[/math] вследствие своей ацикличности. 3) [math]| A | \lt | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] В графе [math]G_A = \langle V, A \rangle [/math] как минимум две компоненты связанности, иначе [math]G_A[/math] являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью. Допустим в [math]B[/math] не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из [math]G_A[/math], значит любая компонента связанности из [math]G_B[/math] целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из [math]G_A[/math]. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из [math]G_A[/math], у неё [math]k[/math] вершин и [math]k - 1[/math] рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности [math]P_i[/math] из [math]G_B[/math] вершинно-входящие в [math]Q[/math], пусть их [math]m[/math] штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно [math]k - m[/math] что не превосходит [math]k - 1[/math] (кол-во рёбер в [math]Q[/math]). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из [math]G_A[/math] и получим [math]| A | \ge | B |[/math] что противоречит условию. Значит предположение не верно и в [math]B[/math] существует искомое ребро [math]x[/math] из разных компонент связанности [math]G_B[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Трансверсальный матроид

Определение:

Пусть [math]G = \langle X, Y, E \rangle[/math] - двудольный граф. Тогда [math]M = \langle X, I = \mathcal{f} A \subset X \mid \exists [/math] паросочетание [math] M: X \cap ends(M) = A \mathcal {g} \rangle [/math] называют трансверсальным матроидом (transversal matroid).

Лемма:

Трансверсальный матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I[/math] Пустое паросочетание удовлетворяет условию. 2) [math]A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I[/math] Подмножество паросочетания также является паросочетанием. Удалим из исходного паросочетания [math]M[/math] ребра, концами которых являются вершины из множества [math]B \setminus A[/math]. Оставшееся множество ребер будет являться паросочетанием, которое обозначим за [math]M'[/math]. И будет выполняться условие [math] X \cap ends(M') = A [/math] , что значит, [math] A \in I [/math]. 3) [math]| A | \lt | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] Раскрасим ребра из паросочетания, соответствующего [math] B [/math] в синий цвет, а соответствующего [math] A [/math] — в красный. Причем ребра, соответствующие двум паросочетаниям, будут окрашены в пурпурный цвет. Таким образом, получится [math] |B \setminus A| [/math] ребер синего цвета, [math] |A \setminus B| [/math] ребер красного цвета, и будет выполняться соотношение [math] |B \setminus A| \gt |A \setminus B|[/math]. Рассмотрим подграф [math] H [/math], индуцированный красными и синими ребрами из исходного графа. Каждая вершина соответствует либо двум ребрам — синему и красному, либо одному — синему или красному. Любая компонента связности представляет собой либо путь, либо цикл, состоящий из чередующихся красных и синих ребер. Так как граф двудольный, любой цикл состоит из четного числа ребер. Так как синих ребер больше, чем красных, то должен существовать путь, начинающийся и оканчивающийся синим ребром. Обозначим этот путь [math] H' [/math]. Поменяем в [math] H' [/math] синий и красный цвета. Получаем, что ребра, окрашенные в красный и пурпурный цвета образуют паросочетание в графе. Очевидно, что подмножество соответствующее этому новому паросочетанию имеет вид [math]A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} [/math], где [math] x \in B \setminus A [/math]. Что значит, что [math] A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Универсальный матроид

Определение:

Универсальным матроидом (uniform matroid) называют объект [math]U_n,_k = \langle X = \{1, 2, 3, ..., n\}, I = \mathcal{f} A \subset X | | A | \leq k\} \rangle [/math]

Лемма:

Универсальный матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I[/math] [math] | \varnothing | = 0 \leq k \Rightarrow \varnothing \in I[/math] 2) [math]A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I[/math] [math] | A | \leq | B | \leq k \Rightarrow | A | \leq k \Rightarrow A \in I [/math] 3) [math]| A | \lt | B | \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math] Так как [math]| A | \lt | B | [/math] и числа в каждом множестве различны, найдётся такое число [math] x \in B [/math], которое не будет принадлежать меньшему по мощности множеству [math] A [/math]. Рассмотрим [math] A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} [/math]. [math]| A | \lt | B | \Rightarrow | A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} | = | A | + 1 \leq | B | \leq k \Rightarrow A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I[/math]

[math]\triangleleft[/math]