СНМ (списки с весовой эвристикой)

Весовая эвристика (weighted-union heuristic) — улучшение наивной реализации СНМ на списках с указателями на представителя. Позволяет добиться улучшения асимптотики с [math]O(n^2)[/math] до [math]O(n \log n)[/math] благодаря добавлению меньшего списка к большему при объединении множеств.

Проблема наивной реализации

Рассмотрим реализацию системы непересекающихся множеств с помощью списков. Для каждого элемента списка будем хранить указатель на представителя и на следующий элемент в списке.

При такой реализации операция [math] \mathrm {init} [/math] для создания n множеств состоящих из одного элемента займет [math]O(n)[/math] времени. Для выполнения операции [math] \mathrm {findSet} [/math] достаточно перейти по ссылке на представителя за [math]O(1)[/math]. Узким местом такой реализации является операция [math] \mathrm {union} [/math]. Слить списки и обновить указатели на представителя для одного из списков мы можем лишь за время пропорциональное количеству элементов.

Нетрудно придумать последовательность из [math]n - 1[/math] операций [math] \mathrm {union} [/math], требующую [math]O(n^2)[/math] времени. Достаточно каждый раз сливать одно и тоже множество с одним новым элементом в том порядке, чтобы требовалось обновить указатели на представителя именно элементам "большого" множества. Поскольку [math]i[/math]-ая операция [math] \mathrm {union} [/math] обновляет [math]i[/math] указателей, общее количество указателей, обновленных всеми [math]n - 1[/math] операциями [math] \mathrm {union} [/math] равно [math]\sum\limits_{i=1}^{n-1} i = O(n^2)[/math]. Отсюда следует, что амортизированное время выполнения операции [math] \mathrm {union} [/math] составляет [math]O(n)[/math].

Реализация с весовой эвристикой

Недостаток наивной реализации проявляется при слиянии относительно большого множества с множеством из одного элемента. В наивной реализации список указанный первым всегда подвешивается ко второму. Хотя в данном случае гораздо выгоднее подвесить меньший список к большему, обновив один указатель на представителя, вместо обновления большого числа указателей в первом списке. Отсюда следуют очевидная оптимизация — будем для каждого множества хранить его размер и изменять указатели на представителя всегда элементам из "меньшего" списка. Хотя одна операция [math] \mathrm {union} [/math] по-прежнему может потребовать [math]\Omega(n)[/math] действий, если оба множества имеют [math]\Omega(n)[/math] членов, но последовательность из [math]n[/math] операций [math] \mathrm {union} [/math] требует [math]O(n \log n)[/math] действий.

Псевдокод:

s[n]
function init():
  for i = 0 to n - 1
    s[i].set  = i    // номер-идентификатор множества
    s[i].next = null
    s[i].head = s[i]
    s[i].tail = s[i] // храним только для представителя
    s[i].count  = 1  // храним только для представителя

function find(x): // подразумевается, что x — ссылка на один из элементов
  return x.head.set

function union(x, y): 
  x = x.head
  y = y.head
  if x == y
    return
  else
    if x.count > y.count
      swap(x, y)
    i = x.head
    while i != null
      i.head = y
      i = i.next
    y.tail.next = x.head // соединили списки
    y.tail = x.tail 
    y.count += x.count

Доказательство оценки времени выполнения

Утверждение:

При реализации СНМ на списках с указателями на представителя и применении весовой эвристики, последовательность из операции [math] \mathrm {init} [/math] для n элементов и m операций [math] \mathrm {union} [/math] и [math] \mathrm {findSet} [/math], требует для выполнения [math]O(m+n \log n)[/math] действий.

[math]\triangleright[/math]

Оценим время работы необходимое для обновления указателей на представителя в операциях [math] \mathrm {union} [/math]. Рассмотрим количество обновлений отдельно для каждого элемента. Оказывается, что для каждого элемента мы можем обновить указатель не более [math]O(\log n)[/math] раз. Это связано с тем, что при каждом объединении, множество, в котором оказывается объект, увеличивается не менее чем вдвое. Действительно, так как мы обновляем указатель на представителя элементу, то этот элемент находился в меньшем из множеств (согласно нашей эвристике), но тогда размер второго множества не меньше. Тогда после первого обновления элемент содержится в множестве, в котором не менее двух элементов, после второго — четырех, и так далее. В силу того, что множество не может содержать более n элементов, количество обновлений не превосходит [math]O(\log n)[/math]. Таким образом, общее время, необходимое для обновления указателей для n элементов, составляет [math]O(n \log n)[/math]. Необходимо также отметить, что слить два списка и обновить поле длины при выполнении [math] \mathrm {union} [/math] можно за константное количество операций (последние три строчки в псевдокоде). Отсюда легко понять, что время необходимое для выполнения всей последовательности операций составит [math]O(m + n \log n)[/math]. Операция [math] \mathrm {init} [/math] за [math]O(n)[/math], [math]O(m)[/math] операций [math] \mathrm {findSet} [/math] и часть работы операции [math] \mathrm {union} [/math] на обновление поля длины и слияния списков, каждая из которых выполняется за константное время, а также суммарное время обновления указателей на представителя операцией [math] \mathrm {union} [/math] для каждого элемента за [math]O(n \log n)[/math] действий.

[math]\triangleleft[/math]

Другие реализации

• СНМ(наивные реализации)
• СНМ(реализация с помощью леса корневых деревьев)

Ссылки

• habrahabr.ru - Система непересекающихся множеств и её применения
• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — с. 585—588. — ISBN 5-8489-0857-4