Прямое произведение ДКА

Определение:

Прямым произведением двух ДКА [math]A_1 = \langle \Sigma, Q_1, s_1, T_1, \delta_1 \rangle[/math] и [math]A_2 = \langle \Sigma, Q_2, s_2, T_2, \delta_2 \rangle[/math] называется ДКА [math]A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle[/math], где: [math]Q = Q_1 \times Q_2,[/math] [math]s = \langle s_1, s_2 \rangle,[/math] [math]T = T_1 \times T_2,[/math] [math]\delta(\langle q_1, q_2 \rangle, c) = \langle \delta_1(q_1, c), \delta_2(q_2, c) \rangle.[/math]

Пример

Возьмем автомат [math]A_1 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_1 = \lbrace s_1, t_1 \rbrace, s_1, T_1 = \lbrace t_1 \rbrace, \delta_1 \rangle[/math], и автомат [math]A_2 = \langle \Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace, Q_2 = \lbrace s_2, q_2, t_{21}, t_{22} \rbrace, s_2, T_2 = \lbrace t_{21}, t_{22} \rbrace, \delta_2 \rangle[/math].

Автомат [math]A = \langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle[/math] будет их пересечением.

Согласно определению:

• [math]\Sigma = \lbrace 0, 1 \rbrace[/math]
• [math]Q = \lbrace \langle s_1, s_2 \rangle, \langle s_1, q_2 \rangle, \langle s_1, t_{21} \rangle, \langle s_1, t_{22} \rangle, \langle t_1, s_2 \rangle, \langle t_1, q_2 \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{21} \rangle \rbrace[/math]
• [math]s = \langle s_1, s_2 \rangle[/math]
• [math]T = \lbrace \langle t_1, t_{21} \rangle, \langle t_1, t_{22} \rangle \rbrace[/math]
• [math]\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(s_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle [/math]
• [math]\delta(\langle s_1, s_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(s_2, 1) \rangle = \langle t_1, s_2 \rangle [/math]
• [math]\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 0) = \langle \delta_1(s_1, 0), \delta_2(q_2, 0) \rangle = \langle s_1, q_2 \rangle [/math]
• [math]\delta(\langle s_1, q_2 \rangle, 1) = \langle \delta_1(s_1, 1), \delta_2(q_2, 1) \rangle = \langle t_1, t_{21} \rangle [/math]
• ...

Действительно, заметим, что только слово [math]01[/math] допускается автоматом [math]A_1[/math] и [math]A_2[/math] одновременно.

Применение

Изменив конструкцию, можно получить автомат допускающий разность или объединение двух языков.

Объединение ДКА

Необходимо разрешать любую цепочку удовлетворяющую первому или второму автомату, для этого пометим терминальными следующие вершины [math]T = (T_1 \times T_2) \cup (T_1 \cap Q_2) \cup (Q_1 \cap T_2)[/math]. Полученный автомат удовлетворяет нашим требованиям так как попав в какое-либо состояние из [math]T_1[/math] или [math]T_2[/math], цепочка начинает удовлетворять первому или второму автомату соответственно.

Разность ДКА

• С помощью данной конструкции можно построить автомат для пересечения регулярных языков.