304
правки
Изменения
м
→Существование и описание
Транзитивное замыкание существует для любого отношения. Для этого отметим, что пересечение любого множества транзитивных отношений транзитивно. Более того, обязательно существует транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> как подмножество (например, <tex>X \times X</tex>).
{{Теорема
|statement=
Докажем, что <tex>R^+</tex> является транзитивным замыканием отношения <tex>R</tex>.
:<tex>R^+ = \bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} R^i</tex>
|proof=
* <tex>R \subset R^+</tex> по определению <tex>R^+</tex>
* <tex>R^+</tex> транзитивно. Пусть <tex>a R^+ b</tex> и <tex>b R^+ c</tex>. Это значит, что существуют i, j такие, что <tex>a R^i b</tex> и <tex>b R^j c</tex>. Но тогда <tex>a R^{i+j} c</tex>, и, так как <tex>R^{i+j} \subset R^+</tex>, то <tex>a R^+ c</tex>
* <tex>R^+</tex> - минимальное отношение, удовлетворяющее представленным требованиям. Пусть <tex>T</tex> - транзитивное отношение, содержащее <tex>R</tex> в качестве подмножества. Покажем, что <tex>R^+ \subset T</tex>. <tex>R \subset T \longleftrightarrow R^i \subset T</tex> для любого натурального <tex>i</tex>. Докажем это по индукции. <tex>R^1 = R \subset R^+</tex>, как было показано выше. Пусть верно для любого <tex>i \le k</tex>. Пусть <tex>a R^{k+1} c</tex>. Но тогда существует <tex>b: aR^kb</tex> и <tex>bRc</tex>, но <tex>R \subset T, R^k \subset T</tex>, следовательно <tex>aTb, bTc</tex>. Из транзитивности <tex>T</tex> следует, что <tex>aTc</tex>, следовательно <tex>R^{k+1} \subset T</tex>, что и требовалось доказать.}}
== Построение транзитивного замыкания ==
