Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Реберная двусвязность)
м (Реберная двусвязность)
Строка 20: Строка 20:
 
''Доказательство:'' Пусть <tex>P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v </tex> (реберно не пересекающиеся пути) и  <tex>Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w </tex> (реберно не пересекающиеся пути).
 
''Доказательство:'' Пусть <tex>P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v </tex> (реберно не пересекающиеся пути) и  <tex>Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w </tex> (реберно не пересекающиеся пути).
  
Составим пути <tex>S_1 = P_1 o Q_1 </tex> и <tex>S_2 = P_2 o Q_2 </tex>. Сделаем пути <tex>S_1, S_2 </tex> простыми (пройти по пути, удаляя все повторяющиеся вершины). Получим два реберно не пересекающихся пути <tex>S_1, S_2 </tex>. Действительно, <tex>S_1 \land S_2 = \varnothing</tex>, так как <tex>P_1 \land P_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>u</tex> и <tex>v</tex>), <tex>Q_1 \land Q_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>w</tex> и <tex>v</tex>).
+
Составим пути <tex>S_1 = P_1 o Q_1 </tex> и <tex>S_2 = P_2 o Q_2 </tex>. Сделаем пути <tex>S_1, S_2 </tex> [[Теорема о существовании простого пути в случае существования пути|простыми]]. Получим два реберно не пересекающихся пути <tex>S_1, S_2 </tex>. Действительно, <tex>S_1 \land S_2 = \varnothing</tex>, так как <tex>P_1 \land P_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>u</tex> и <tex>v</tex>), <tex>Q_1 \land Q_2 = \varnothing </tex> (реберная двусвязность <tex>w</tex> и <tex>v</tex>).
 
<tex>P_1 \land Q_2 = </tex> {какой-то путь} или <tex>P_2 \land Q_1 = </tex> {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность.
 
<tex>P_1 \land Q_2 = </tex> {какой-то путь} или <tex>P_2 \land Q_1 = </tex> {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность.
 
Если <tex>S_1 \land S_2 \neq \varnothing </tex>, тогда возьмем <tex>S_1 = P_1 o Q_2 </tex>, а <tex>S_2 = P_2 o Q_1 </tex>, сделаем их простыми.
 
Если <tex>S_1 \land S_2 \neq \varnothing </tex>, тогда возьмем <tex>S_1 = P_1 o Q_2 </tex>, а <tex>S_2 = P_2 o Q_1 </tex>, сделаем их простыми.

Версия 03:50, 27 октября 2010

Реберная двусвязность

Определение:
Две вершины [math]U[/math] и [math] V[/math] графа [math]G[/math] называются реберно двусвязными, если между этими вершинами существуют два реберно непересекающихся пути.


Теорема:
Отношение реберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]R[/math] - отношение реберной двусвязности.

Рефлексивность: [math](u, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Коммутативность: [math](u, v)\in R \Rightarrow (v, u)\in R. [/math] (Очевидно)

Транзитивность: [math](u, v)\in R [/math] и [math](v, w)\in R \Rightarrow (u, w)\in R. [/math]

Доказательство: Пусть [math]P_1,P_2 : u \rightsquigarrow v [/math] (реберно не пересекающиеся пути) и [math]Q_1,Q_2 : v \rightsquigarrow w [/math] (реберно не пересекающиеся пути).

Составим пути [math]S_1 = P_1 o Q_1 [/math] и [math]S_2 = P_2 o Q_2 [/math]. Сделаем пути [math]S_1, S_2 [/math] простыми. Получим два реберно не пересекающихся пути [math]S_1, S_2 [/math]. Действительно, [math]S_1 \land S_2 = \varnothing[/math], так как [math]P_1 \land P_2 = \varnothing [/math] (реберная двусвязность [math]u[/math] и [math]v[/math]), [math]Q_1 \land Q_2 = \varnothing [/math] (реберная двусвязность [math]w[/math] и [math]v[/math]). [math]P_1 \land Q_2 = [/math] {какой-то путь} или [math]P_2 \land Q_1 = [/math] {какой-то путь} не влияют на реберную двусвязность. Если [math]S_1 \land S_2 \neq \varnothing [/math], тогда возьмем [math]S_1 = P_1 o Q_2 [/math], а [math]S_2 = P_2 o Q_1 [/math], сделаем их простыми.

Утверждение доказано.
[math]\triangleleft[/math]

Компоненты реберной двусвязности

Определение:
Компонентами реберной двусвязности графа, называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности реберной двусвязности, а множества ребер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности.


См. также

Отношение вершинной двусвязности