Автоматы с магазинной памятью

Эта статья находится в разработке!

Недетерминированный автомат с магазинной памятью

Рис. 1. Автомат с магазинной памятью

На рис. 1 изображен автомат с магазинной памятью. С ленты последовательно считываются символы входного алфавита ([math]c_i[/math] --- текущий считываемый символ). Символ [math]x[/math] снимается с вершины стека. Вместо него помещается строка [math]\alpha[/math] таким образом, чтобы первый символ строки находился на вершине стека.

По умолчанию будем считать автоматы с магазинной памятью недетерминированными. Если речь пойдет о детерминированном автомате, то это будет указано отдельно.

Определение:

Автомат с магазинной памятью --- это набор A=[math]\langle\Sigma,\Gamma,Q,s\in Q, T \subset Q, z_0 \in \Gamma, \delta : Q \times \Sigma \cup \{\varepsilon\} \times \Gamma \rightarrow \cal P[/math][math](Q \times \Gamma^*)\rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] --- входной алфавит на ленте; [math]\Gamma[/math] --- стековый алфавит; [math]Q[/math] --- множество состояний автомата; [math]s[/math] --- стартовое состояние автомата; [math]T[/math] --- множество допускающих состояний автомата; [math]z_0[/math] --- маркер дна стека; [math]\delta[/math] --- функция переходов.

Диаграммы переходов

Рис. 2. Переход: с - символ, прочитанный с ленты; A - символ, вынутый из стека; [math]\alpha[/math] - строка, помещаемая в стек

Рис. 3. Переход по любому стековому символу, он же возвращается в стек

Рис. 4. Переход по любому стековому символу, в стек кладется пустая строка

По соглашению маркер дна всегда находится на дне (за исключением случая, когда автомат является автоматом с допуском по пустому стеку). То есть, для [math]\mathcal8 q \in Q,\mathcal8 c \in \Sigma \cup \varepsilon \Rightarrow \delta(q, c, z_0) \ni \langle p, \alpha \rangle [/math], где [math]p \in Q, \alpha \in \Gamma^*, \alpha = \alpha_1z_0[/math]

Основные определения

• Мгновенное описание: [math]\langle q, \alpha, \gamma \rangle[/math], где [math]q[/math] --- текущее состояние, [math]\alpha[/math] --- остаток строки, [math]\gamma[/math] --- содержимое стека.
• Переход за один шаг обозначается как [math]\langle q, \alpha, \gamma \rangle \vdash \langle r, \beta, \xi \rangle[/math], где [math]\alpha = c\beta[/math] (возможно, [math]c=\varepsilon[/math]), [math]\gamma = \chi\gamma', \xi = \eta\gamma'[/math], [math]\langle r, \eta \rangle \in \delta(q, c, \chi)[/math]

Определение:

Язык автомата с магазинной памятью [math]L(A)=\{\alpha \mid \langle s, \alpha, z_0\rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon, \gamma \rangle, t \in T\}[/math]

Пример

Рассмотрим недетерминированный автомат с магазинной памятью для языка [math]0^n1^n[/math].

Рис. 5. Недетерминированный МП-автомат для языка [math]0^n1^n[/math]

Детерминированный автомат с магазинной памятью

Определение:

Если для автомата с магазинной памятью выполняются следующие условия: [math]\mathcal8 q \in Q, \mathcal8 c \in \Sigma, \mathcal8 X \in \Gamma \Rightarrow \left | \delta(q, c, X)\right | \le 1[/math]; [math]\delta(q,\varepsilon,X) \ne 0 \Rightarrow \mathcal8 c \in \Sigma : \delta(q, c, X) = \varnothing[/math], то поведение автомата всегда определено однозначно и он называется детерминированным автоматом с магазинной памятью.