Участник:Iloskutov/Матан 4сем — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Теоремы)
(→‎Теорема о вложении пространств L^p)
Строка 177: Строка 177:
 
|proof=
 
|proof=
 
}}
 
}}
−
=== Теорема о вложении пространств <tex dpi=150>L^p</tex> ===
+
=== Теорема о вложении пространств L^p ===
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=<tex dpi=150>(X, a, \mu)</tex>
 
|statement=<tex dpi=150>(X, a, \mu)</tex>
Строка 185: Строка 185:
 
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
 
# <tex dpi=150>1 \leqslant s < r < +\infty</tex>, тогда <tex dpi=150>L^r \subset L^s</tex>
 
# <tex dpi=150>\parallel f \parallel_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \parallel f \parallel_r</tex>
 
# <tex dpi=150>\parallel f \parallel_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \parallel f \parallel_r</tex>
−
|proof=Шмяк-шмяк и готово
+
|proof=
 +
1. Напрямую следует из 2
 +
 
 +
2. Пусть
 +
 
 +
<tex dpi=150> \dfrac{r}{s} = p > 1</tex>
 +
 
 +
<tex dpi=150> q = \dfrac{r}{r - s}</tex>
 +
 
 +
Тогда: <tex dpi=150>\parallel f \parallel^s_s = \int_x |f|^s = \int_x |f|^s \times 1 \leqslant (\int |f|^{s \times \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \parallel f \parallel_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}</tex>
 
}}
 
}}
  

Версия 20:58, 20 июня 2015

Содержание

Определения

Интегральные неравенства Гельдера и Минковского

Интеграл комплекснозначной функции

Пространство $L^p(E,\mu)$

Пространство $L^\infty(E,\mu)$

Существенный супремум

Фундаментальная последовательность, полное пространство

Плотное множество

Финитная функция

Гильбертово пространство

Ортогональная система, ортонормированная система векторов, примеры

Сходящийся ряд в гильбертовом пространстве

Ортогональная система (семейство) векторов

Ортонормированная система

Коэффициенты Фурье

Ряд Фурье

Базис, полная, замкнутая ОС

Тригонометрический ряд

Коэффициенты Фурье функции

Ядро Дирихле, ядро Фейера

Свертка

Аппроксимативная единица

Усиленная аппроксимативная единица

Метод суммирования средними арифметическими

Измеримое множество на простой двумерной поверхности в R^3

Мера Лебега на простой двумерной поверхности в R^3

Поверхностный интеграл первого рода

Определение:
[math]\int f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} dt[/math]


Кусочно-гладкая поверхность в R^3

Определение:
[math]M \subset \mathbb R^3[/math] называется кусочно-гладкой, если [math]M[/math] представляет собой объединение:
  • конечного числа простых гладких поверхностей
  • конечного числа простых гладких дуг
  • конечного числа точек


Сторона поверхности

Определение:
Сторона поверхности — это непрерывное поле единичных нормалей на поверхности


Задание стороны поверхности с помощью касательных реперов

Определение:
Репер — упорядоченный набор из двух (неколлинеарных) касательных векторов к поверхности


Определение:
Поле реперов [math]v_1, v_2 \colon M \to \mathbb R^3[/math], если [math]\forall x \in M \quad \langle v_1(x), v_2(x) \rangle[/math] — касательный репер


Определение:
Сторона поверхности задаётся с помощью касательных реперов: [math]n_0(x) = \dfrac{v_1(x) \times v_2(x)}{|v_1(x) \times v_2(x)|}[/math]


Интеграл II рода

Ориентация контура, согласованная со стороной поверхности

Ротор, дивергенция векторного поля

Соленоидальное векторное поле

Теоремы

Теорема об интегрировании положительных рядов

Теорема:

Абсолютная непрерывность интеграла

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости по мере

Теорема:

Теорема Лебега о мажорированной сходимости для случая сходимости почти везде

Теорема:

Теорема Фату

Теорема:

Теорема Лебега о непрерывности интеграла по параметру

Теорема:

Правило Лейбница дифференцирования интеграла по параметру

Теорема:

Вычисление интеграла Дирихле

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по взвешенному образу меры

Теорема:

Критерий плотности

Теорема:

Лемма о множествах вполне положительности заряда

Теорема:

Теорема Радона--Никодима. Доказательство единственности

Теорема:

Теорема Радона--Никодима. Доказательство существования

Теорема:

Лемма об оценке мер образов кубов из окрестности точки дифференцируемости

Теорема:

Теорема о преобразовании меры при диффеоморфизме

Теорема:

Теорема о гладкой замене переменной в интеграле Лебега

Теорема:

Теорема о произведении мер

Теорема:

Принцип Кавальери

Теорема:

Теорема Тонелли

Теорема:

Формула для Бета-функции

Теорема:

Теорема Фубини

Теорема:

Объем шара в $\mathbb R^m$

Теорема:

Теорема о вычислении интеграла по мере Бореля--Стилтьеса (с леммой)

Теорема:

Теорема о вложении пространств L^p

Теорема:
[math](X, a, \mu)[/math]

[math]\mu(X) \lt +\infty[/math]

  1. [math]1 \leqslant s \lt r \lt +\infty[/math], тогда [math]L^r \subset L^s[/math]
  2. [math]\parallel f \parallel_s \leqslant (\mu(X))^{\frac{1}{s} - \frac{1}{r}} \times \parallel f \parallel_r[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Напрямую следует из 2

2. Пусть

[math] \dfrac{r}{s} = p \gt 1[/math]

[math] q = \dfrac{r}{r - s}[/math]

Тогда: [math]\parallel f \parallel^s_s = \int_x |f|^s = \int_x |f|^s \times 1 \leqslant (\int |f|^{s \times \frac{r}{s}})^\frac{s}{r} \times (\int 1^{\frac{r}{r-s}})^\frac{r-s}{r} = \parallel f \parallel_r^s \times (\mu(X))^{1-\frac{s}{r}}[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Полнота $L^p$

Теорема:

Плотность в $L^p$ множества ступенчатых функций

Теорема:

Лемма Урысона

Теорема:

Плотность в $L^p$ непрерывных финитных функций

Теорема:

Теорема о непрерывности сдвига

Теорема:

Теорема о свойствах сходимости в гильбертовом пространстве

Теорема:

Теорема о коэффициентах разложения по ортогональной системе

Теорема:

Теорема о свойствах частичных сумм ряда Фурье. Неравенство Бесселя

Теорема:

Теорема Рисса -- Фишера о сумме ряда Фурье. Равенство Парсеваля

Теорема:

Теорема о характеристике базиса

Теорема:

Лемма о вычислении коэффициентов тригонометрического ряда

Теорема:

Теорема Римана--Лебега

Теорема:

Принцип локализации Римана

Теорема:

Признак Дини. Следствия

Теорема:

Корректность определения свертки

Теорема:

Свойства свертки функции из $L^p$ с функцией из $L^q$

Теорема:

Теорема о свойствах аппроксимативной единицы

Теорема:

Теорема Коши о перманентности метода средних арифметических

Теорема:

Теорема Фейера

Теорема:

Полнота тригонометрической системы

Теорема:

Формула Грина

Теорема:

Формула Стокса

Теорема:

Формула Гаусса--Остроградского

Теорема:

Бескоординатное определение ротора

Теорема:

Бескоординатное определение дивергенции

Теорема:

Описание соленоидальных полей в терминах дивергенции

Теорема:
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Участник:Iloskutov/Матан_4сем&oldid=48639»