Линейные уравнения высших порядков

Определение

Определение:

[math]y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y = f(x)[/math] — называется линейным уравнением n-ного порядка.

Определение:

если [math]f(x)\equiv 0[/math] то уравнение называется однородным, иначе - неоднородным.

пусть [math]\alpha(y) = y^{(n)} + p_1(x)y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1}(x)y' + p_n(x)y[/math], тогда уравнение имеет вид [math]\alpha(y) = f(x)[/math].
[math]\alpha(y)[/math] называется линейным дифференциальным оператором n-ного порядка. Очевидно, что [math]\alpha (\Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_k\alpha(y_k)[/math].

Свойства решения однородного уравнения

Если [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] — решения ЛОДУ (линейного однородного дифференциального уравнения), то [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — решение. Отсюда делаем вывод, что множество решений ЛОДУ - это линейное пространство.

Определение:

функции [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] называются линейно зависимыми(ЛЗ), если [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) \equiv 0 \Leftrightarrow \Sigma_{k = 0}^{n} \alpha_k^2 = 0[/math]. иначе они называются линейно независимыми(ЛНЗ).

Утверждение:

если [math]y_1(x),\dots, y_n(x)[/math] - ЛЗ в промежутке (a, b) , то одна из них представляется линейной комбинацией остальных.

[math]\triangleright[/math]

пусть [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0 [/math] при некотором наборе [math]\alpha_i[/math] , среди которых хотя бы одна отлична от нуля. тогда [math]y_m(x) = -\frac{\alpha_1}{\alpha_m}y_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_m}y_2 - \dots - \frac{\alpha_{m - 1}}{\alpha_m}y_{m - 1}- \frac{\alpha_{m + 1}}{\alpha_m}y_{m + 1} - \dots - \frac{\alpha_n}{\alpha_m}y_n[/math], где [math]\alpha_m \neq 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Фундаментальная система решений ЛОДУ

Определение:

Совокупность из n ЛНЗ решений в интервале (a, b) называется фундаментальной системой решений ЛОДУ.

Определение:

Определитель Вронского набора [math]y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)[/math] имеет вид: [math] W(x) =\begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) & \dots & y_n(x) \\ y_1'(x) & y_2'(x)& \dots &y_n'(x) \\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ y_1^{(n - 1)}(x) &y_2^{(n - 1)}(x) & \dots & y_n^{(n -1)}(x) \end{vmatrix}[/math]

Теорема (критерий ЛНЗ решений ЛОДУ):

пусть [math]y_1(x), \dots , y_n(x)[/math] - некоторая совокупность решений уравнения [math]\alpha(y) = 0[/math]. Тогда она образует ЛНЗ набор тогда и только тогда , когда [math]W(x) \neq 0[/math] на (a, b).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

рассмотрим сумму [math]\alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x)[/math], и найдем набор [math]\alpha_1, \dots, \alpha_n[/math], при котором она обращается в 0. Т.е. решим уравнение относительно альф. продифференцировав, n - 1 раз уравнение получим систему: [math] \left\{\begin{matrix} \alpha_1y_1(x) + \alpha_2y_2(x) + \dots + \alpha_ny_n(x) = 0\\ \alpha_1y_1'(x) + \alpha_2y_2'(x) + \dots + \alpha_ny_n'(x) = 0 \\ \dots \\ \alpha_1y_1^{(n - 1)}(x) + \alpha_2y_2^{(n - 1)}(x) + \dots + \alpha_ny_n^{(n - 1)}(x) = 0 \end{matrix}\right. [/math] получаем однородную систему линейных уравнений относительно альф. она имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ее определитель равен 0 , а он, по определению , является определителем Вронского. теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Общее решение ЛОДУ

Утверждение (Формула Остроградского-Лиувиля):

Определитель Вронского равен [math]W(x) = W(x_0)e^{-\int_{x_0}^{x}p_1(t)dt}[/math], где [math]p_1(x)[/math] — коэффицент при [math]y^{(n - 1)}[/math] если [math]W(x_0)= 0 \Rightarrow W(x) = 0 \: \forall x[/math] если [math]W(x_0)\neq 0 \Rightarrow W(x) \neq 0 \: \forall x[/math]

Теорема (структура общего решения ЛОДУ):

пусть [math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) тогда общее решение имеет вид: [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]y_1(x), \dots, y_n(x)[/math] - ФСР, [math]\alpha(y) = 0[/math] в (a, b) т.к. в окрестности /* TODO: какой?*/ выполнено условие теоремы Пикара => решение существует и единственно. Покажем, что [math](\ast) [/math] - общее решение: [math] \left\{\begin{matrix} y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x) \\ y'(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k'(x) \\ \dots \\ y^{(n -1)}(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k^{(n - 1)}(x) \end{matrix}\right. [/math] — эта система разрешима относительно [math]C_i, \forall i=1..n[/math], так как [math]W(x) \neq 0 \:\: \Rightarrow[/math] [math]y(x) = \Sigma_{k = 0}^{n} C_ky_k(x)[/math] — есть общее решение [math]\alpha(y) = 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Общее решение ЛНДУ

Теорема:

Общее решение ЛНДУ(линейного неоднородного дифференцального уравнения) есть суперпозиция любого частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

обозначаем: [math]y_{p.i.}[/math] — частное решение ЛНДУ. [math]z_{c.h.}[/math] — общее решение ЛОДУ. [math]y(x) = y_{p.i.}(x) + z_{c.h.} \: ?[/math] пусть [math]y_1(x) = y_{p.i.}, \: z(x) = z_{c.h.}[/math] рассмотрим [math]y(x) = y_1(x) + z(x)[/math]. [math]\alpha(y) = \alpha(y_1 + z) = \alpha(y_1) + \alpha(z)[/math]. Но [math]\alpha(y_1) = f(x) \Rightarrow[/math] [math]f(x) = f(x) + \alpha(z) \Rightarrow \alpha(z) = 0[/math]. Значит y - действительно общее решение [math]\alpha(y) = f(x)[/math]

[math]\triangleleft[/math]