Теорема Кэли — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 7: Строка 7:
  
 
|proof=
 
|proof=
Пусть <tex>*</tex> - бинарная операция в группе <tex>G</tex>. Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>. Вследствие существования обратного к <tex>g</tex> элемента <tex>g^{-1}</tex>, у этой функции есть обратная к ней <tex>f^{-1}_g</tex> , и поэтому <tex>f_g</tex> - перестановка.
+
Пусть <tex>*</tex> {{---}} бинарная операция в группе <tex>G</tex>.
 +
Рассмотрим некоторый элемент <tex>g \in G</tex> и функцию <tex>f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x</tex>.
 +
<tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, так как для любых <tex>x, y</tex> таких, что <tex>x \neq y</tex> верно, что <tex>g*x \neq g*y</tex>
 +
Если <tex>f_g</tex> {{---}} перестановка, то <tex>f_{g^{-1}}</tex> {{---}} обратная перестановка, где <tex>g^{-1}</tex> {{---}} обратный элемент <tex>g</tex> в группе <tex>G</tex>
 +
Если <tex>e</tex> {{---}} нейтральный (относительно бинарной операции <tex>*</tex>) элемент в группе, то <tex>f_e</tex> {{---}} тождественная перестановка.
 +
Таким образом множество всех функций <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex> {{---}} подгруппа симметрической группы.
  
 
Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.
 
Пусть <tex>\circ</tex> - композиция двух перестановок.
Рассмотрим множество <tex>K = \{f_g : g \in G\}</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex>  изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что
+
Рассмотрим множество <tex>K</tex>. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что <tex>G</tex> и <tex>K</tex>  изоморфны. Для этого рассмотрим функцию <tex>T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x</tex>. Заметим, что
  
 
*<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.
 
*<tex>T(g)\circ T(h) = T(g*h)</tex>.
  
Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.
+
Действительно, для всех <tex>x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)</tex>, а тогда <tex>T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)</tex>.
 +
 
 +
Значит <tex>T</tex> {{---}} гомоморфизм.
  
 
*<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.
 
*<tex>T</tex> - инъекция, потому что <tex>f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'</tex>.
 
*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
 
*Сюрьективность <tex>T</tex> очевидна из определения <tex>K</tex>.
  
То есть <tex>T</tex> - гомоморфизм, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
+
То есть <tex>T</tex> - гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм <tex>G</tex> и <tex>K</tex> установлен.
 +
}}
 +
==Примеры==
 +
Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа <tex> \mathbb Z_3</tex> {{---}} группа остатков по модулю 3, с бинарной операцией сложения по модулю 3.
 +
 
 +
Пусть <tex>\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3</tex>
 +
 
 +
<tex> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </tex>
 +
 
 +
<tex> \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} </tex>
 +
 
 +
<tex> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2  \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} </tex>
 +
 
 +
Не сложно убедиться в том, что <tex> \mathbb Z_3</tex> и полученная группа перестановок дейсвительно изоморфны.
  
}}
 
  
 
==Источники==
 
==Источники==
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Cayley's_theorem Cayley's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia]
 +
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Комбинаторика]]

Версия 07:40, 11 ноября 2011

Теорема (Кэли(Cayley), о вложении любой конечной группы в группу перестановок):
Любая конечная группа [math]G[/math] изоморфна некоторой подгруппе группы перестановок (симметрической группе).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]*[/math] — бинарная операция в группе [math]G[/math]. Рассмотрим некоторый элемент [math]g \in G[/math] и функцию [math]f_g : G \rightarrow G, f_g(x) = g*x[/math]. [math]f_g[/math] — перестановка, так как для любых [math]x, y[/math] таких, что [math]x \neq y[/math] верно, что [math]g*x \neq g*y[/math] Если [math]f_g[/math] — перестановка, то [math]f_{g^{-1}}[/math] — обратная перестановка, где [math]g^{-1}[/math] — обратный элемент [math]g[/math] в группе [math]G[/math] Если [math]e[/math] — нейтральный (относительно бинарной операции [math]*[/math]) элемент в группе, то [math]f_e[/math] — тождественная перестановка. Таким образом множество всех функций [math]K = \{f_g : g \in G\}[/math] — подгруппа симметрической группы.

Пусть [math]\circ[/math] - композиция двух перестановок. Рассмотрим множество [math]K[/math]. По доказанному выше, оно является подгруппой симметрической группы. Осталось доказать, что [math]G[/math] и [math]K[/math] изоморфны. Для этого рассмотрим функцию [math]T : G \rightarrow K,\, T(x) = f_x[/math]. Заметим, что

  • [math]T(g)\circ T(h) = T(g*h)[/math].

Действительно, для всех [math]x \in G \quad(f_g \circ f_h)(x) = f_g(f_h(x)) = f_g(h * x) = g*(h*x) = (g*h)*x = f_{(g*h)}(x)[/math], а тогда [math]T(g)\circ T(h) = f_g \circ f_h = f_{(g*h)} = T(g*h)[/math].

Значит [math]T[/math] — гомоморфизм.

  • [math]T[/math] - инъекция, потому что [math]f_g(x) = f_{g'}(x) \Rightarrow g = f_g(x)*x^{-1} = f_{g'}(x)*x^{-1} = g'[/math].
  • Сюрьективность [math]T[/math] очевидна из определения [math]K[/math].
То есть [math]T[/math] - гомоморфизм и биекция, а значит изоморфизм [math]G[/math] и [math]K[/math] установлен.
[math]\triangleleft[/math]

Примеры

Тривиальным примером и иллюстрацией для данной теоремы является группа [math] \mathbb Z_3[/math] — группа остатков по модулю 3, с бинарной операцией сложения по модулю 3.

Пусть [math]\ \varphi :\mathbb{Z}_3\rightarrow S_3[/math]

[math] \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} [/math]

[math] \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

Не сложно убедиться в том, что [math] \mathbb Z_3[/math] и полученная группа перестановок дейсвительно изоморфны.


Источники