Примитивно рекурсивные функции

<< >>

Рекурсивные функции

Рассмотрим примитивы, из которых будем собирать выражения:

1. [math]\mathrm{Z}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{Z}(x) = 0[/math]
2. [math]\mathrm{N}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{N}(x) = x'[/math]
3. Проекция. [math]\mathrm{U^n_i}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math], [math]\mathrm{U^n_i} (x_1, ... x_n) = x_i[/math]
4. Подстановка. Если [math]\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math] и [math]\mathrm{g_1}, ... \mathrm{g_n}: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}[/math], то [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle: \mathbb{N}^{m} \rightarrow \mathbb{N}[/math]. При этом [math]\mathrm{S}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g_1},...\mathrm{g_n}\rangle (x_1,...x_m) = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,...x_m), ... \mathrm{g_n}(x_1,...x_m))[/math]
5. Примитивная рекурсия. Если [math]\mathrm{f}: \mathbb{N}^{n} \rightarrow \mathbb{N}[/math] и [math]\mathrm{g}:\mathbb{N}^{n+2} \rightarrow \mathbb{N}[/math], то [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}[/math], при этом [math]\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle (x_1,...x_n,y) = \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{f}(x_1,...x_n) & , y = 0\\ \mathrm{g}(x_1,...x_n,y-1,\mathrm{R}\langle{}\mathrm{f},\mathrm{g}\rangle(x_1,...x_n,y-1)) &, y \gt 0 \end{array}\right.[/math]
6. Минимизация. Если [math]\mathrm{f}: \mathrm{N^{n+1}} \rightarrow \mathrm{N}[/math], то [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle: \mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math], при этом [math]\mu \langle{}\mathrm{f}\rangle (x_1,...x_n)[/math] — такое минимальное число [math]y[/math], что [math]\mathrm{f}(x_1,...x_n,y) = 0[/math]. Если такого [math]y[/math] нет, результат данного примитива неопределен.

Если некоторая функция [math]\mathrm{N^n} \rightarrow \mathrm{N}[/math] может быть задана с помощью данных примитивов, то она называется рекурсивной. Если некоторую функцию можно собрать исключительно из первых 5 примитивов (то есть без использования операции минимизации), то такая функция называется примитивно-рекурсивной.

Примитивно рекурсивные функции

Основные определения

Рассмотрим следующие правила преобразования функций:

Подстановка

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] \mathrm{f}(x_1,\ldots,x_k) [/math] и [math] k [/math] [math]n [/math]-местных функций [math] \mathrm{g_i}(x_1,x_2,\ldots,x_n) [/math]. Тогда после преобразования у нас появится [math] n [/math]-местная функция [math]\mathrm{F} [/math], такая что: [math] \mathrm{F} = \mathrm{f}(\mathrm{g_1}(x_1,\ldots,x_n),\ldots, \mathrm{g_k}(x_1,\ldots,x_n)) [/math].

Рекурсия

Рассмотрим [math] k [/math]-местную функцию [math] \mathrm{f} [/math] и [math] (k + 2) [/math]-местную функцию [math] \mathrm{h} [/math]. Тогда после преобразования у нас будет [math] (k+1) [/math]-местная функция [math] \mathrm{g} [/math], которая определена следующим образом:

[math]\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,0)=\mathrm{f}(x_1,\ldots,x_n)[/math]

[math]\mathrm{g}(x_1,\ldots,x_n,y+1)=\mathrm{h}(x_1,\ldots,x_n,y,\mathrm{g}(x_1,\ldots, x_n,y))[/math]

При этом будем говорить, что рекурсия запускается по аргументу [math] y [/math].

Определение:

Примитивно рекурсивными называют функции, которые можно получить с помощью правил подстановки и рекурсии из константной функции [math] \textbf 0 [/math], функции [math] \mathrm{I}(x) = x + 1, [/math] и набора функций [math] \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_n) = x_k,[/math] где [math] k \le n [/math].

Заметим, что если [math] \mathrm{f} [/math] — [math]n[/math]-местная примитивно рекурсивная функция, то она определена на всем множестве [math] \mathbb{N}^{n} [/math], так как [math] \mathrm{f} [/math] получается путем правил преобразования из всюду определенных функций, и правила преобразования не портят всюду определенность. Говоря неформальным языком, рекурсивные функции напоминают программы, у которых при любых входных данных все циклы и рекурсий завершатся за конечное время.

Благодаря проекторам мы можем делать следующие преобразования:

• В правиле подстановки можно использовать функции с разным числом аргументов. Например, подстановка [math] \mathrm{F}(x,y) =\mathrm{f}(\mathrm{g}(y),\mathrm{h}(x,x,y)) [/math] эквивалентна [math] \mathrm{F}(x,y,z) = \mathrm{f}(\mathrm{g}(\mathrm{P_{2,2}}(x,y)),\mathrm{h}(\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,1}}(x,y),\mathrm{P_{2,2}}(x,y))) [/math], но если [math] \mathrm{F} [/math] не константная функция то все подставляемые функции должны иметь хотя бы один аргумент.
• В рекурсии не обязательно вести индукцию по последнему аргументу. Следует из того что мы можем с помощью проекторов поставить требуемый аргумент на последнее место.

В дальнейшем вместо [math] \mathrm{P_{n,k}}(x_1,\ldots,x_k) [/math] будем писать просто [math] x_k [/math], подразумевая требуемое нам [math] n [/math].

Арифметические операции на примитивно рекурсивных функциях

n -местный ноль

[math] \textbf 0 [/math] - функция нуля аргументов.

Выразим сначала [math] \textbf 0^1 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(0) = \textbf 0 [/math]

[math] \textbf 0^{1}(y+1) = \mathrm{h}(y,\textbf 0^{1}(y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y) = y [/math]

Теперь выразим [math] \textbf 0^n [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},0) = \textbf 0^{n-1} [/math]

[math] \textbf 0^{n}(x_1,\ldots,x_{n-1},y+1) = \mathrm{h}(x_1,\ldots,x_{n-1},\textbf 0^{n}(y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x_1,\ldots, x_n,y) = y [/math]

Константа [math] \textbf M [/math] равна [math] \mathrm{I}(\textbf{M-1}) [/math]

[math] \textbf M^n [/math] - n местная константа, получается аналогичным к [math] \textbf 0^n [/math] образом.

Сложения

[math] \mathrm{sum}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sum}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{sum}(x,y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{I}(z) [/math]

Умножения

[math] \mathrm{prod}(x,0) = \textbf 0^1(x) [/math]

[math] \mathrm{prod}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{prod}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z)=\mathrm{sum}(x,z) [/math]

Вычитания

Если [math] x \lt y [/math], то [math] \mathrm{sub}(x,y) = 0 [/math] , иначе [math] \mathrm{sub}(x,y) = x - y [/math].

Рассмотрим сначала вычитания единицы [math] \mathrm{sub_{1}}(x) = x - 1 [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(0) = \textbf 0 [/math]

[math] \mathrm{sub_1}(x+1) = \mathrm{h}(x,\mathrm{sub_1}(x)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y) = x [/math]

Теперь рассмотрим [math] \mathrm{sub}(x,y) [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,0) = x [/math]

[math] \mathrm{sub}(x,y+1) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{sub}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) =\mathrm{sub_1}(z) [/math]

Операции сравнения

[math] \mathrm{eq}(x,y) = 1 [/math] если [math] x = y [/math], иначе [math] \mathrm{eq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{le}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \le y [/math], иначе [math] \mathrm{lq}(x,y) = 0 [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = 1 [/math] если [math] x \lt y [/math], иначе [math] \mathrm{lower}(x,y) = 0 [/math]

Сначала выразим [math] \mathrm{eq_{0}}(x) = \mathrm{eq}(x,0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(0) =\mathrm{I}(\textbf 0) [/math]

[math] \mathrm{eq_0}(y+1) = \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(y,\mathrm{eq}(y)) = \textbf 0^2(x,y) [/math]

Теперь все остальные функции

[math] \mathrm{le}(x,y) = \mathrm{eq_0}(\mathrm{sub}(x,y)) [/math]

[math] \mathrm{eq}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(y,x)) [/math]

[math] \mathrm{lower}(x,y) = \mathrm{mul}(\mathrm{le}(x,y),\mathrm{le}(\mathrm{I}(x),y)) [/math]

IF

[math] \mathrm{if}(0,x,y) = y [/math]

[math] \mathrm{if}(c+1,x,y) = \mathrm{h}(c,x,y,\mathrm{if}(c,x,y)) [/math] , где [math] \mathrm{h}(c,x,y,d) = x [/math]

Деление

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \lfloor {\frac{x}{y}} \rfloor [/math], если [math] y \gt 0 [/math]. Если же [math] y = 0 [/math], то [math] \mathrm{divide}(x,0) [/math] и все связанные с делением функции равны каким то ,не интересными для нас, числами.

Сначала определим [math] \mathrm{divmax}(x,y) [/math] — функция равна максимальному числу меньшему или равному [math] x [/math],которое нацело делится на [math] y [/math].

[math] \mathrm{divmax}(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] \mathrm{divmax}(x+1,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divmax}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{if}(\mathrm{eq}(\mathrm{sub}(\mathrm{I}(x),z),y),\mathrm{I}(x),z) [/math],

или не формально если [math] x+1 - y = z [/math] то [math] \mathrm{h}(x,y,z) = x+1 [/math], иначе [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z [/math]

Теперь само деления

[math] \mathrm{divide}(0,y) =\textbf 0^{1} [/math]

[math] \mathrm{divide}(x,y) = \mathrm{h}(x,y,\mathrm{divide}(x,y)) [/math], где [math] \mathrm{h}(x,y,z) = \mathrm{sum}(z,\mathrm{eq}(\mathrm{I}(x),\mathrm{divmax}(\mathrm{I}(x),y))) [/math]

или не формально если [math] x+1~\vdots~y [/math], то [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z+1 [/math], иначе [math] \mathrm{h}(x,y,z) = z [/math]

Остаток от деления выражается так:

[math] \mathrm{mod}(x,y) = \mathrm{sub}(x,\mathrm{mul}(y,\mathrm{divide}(x,y))) [/math]

Работа со списками фиксированной длины

С помощью описанных выше арифметических операций можно выразить проверку на простоту числа и поиск [math] n [/math] - того простого числа. Рассмотрим список из натуральны чисел [math] [x_1,\ldots,x_n] [/math], тогда ему в соответствия можно поставить число [math] p_1^{x_1+1} \cdot p_2^{x_2+1} \cdot \ldots \cdot p_n^{x_n+1} [/math], где [math] p_i - i[/math]-тое простое число. Как видно из представления,создания списка, взятие [math] i [/math] - того элемента и остальные операции являются простыми арифметическими операциями, а следовательно примитивно рекурсивными. Поэтому будем считать что у примитивно рекурсивной функций аргументы и результат могут быть списками из натуральных чисел.

Теорема о примитивной рекурсивности вычислимых функций

Теорема:

Если для вычислимой функции [math] \mathrm{F} [/math] существует примитивно рекурсивная функция [math] \mathrm{T} [/math], такая что для любых аргументов [math] args [/math] максимальное количество шагов, за которое будет посчитана [math] \mathrm{F}(x) [/math] на МТ равно [math] \mathrm{T}(args) [/math], то [math] \mathrm{F} [/math] примитивно рекурсивная функция.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Каждому состоянию МТ поставим в соответствие список из четырех чисел [math] [L,R,S,C] [/math], где: [math] L [/math] - состояние МТ слева от головки ленты, представлено в виде числа в системы счисления с основанием равным алфавиту МТ. Младшие разряды находятся возле головки. Пробелу соответствует ноль, чтобы число было конечным. [math] R [/math] - состояние МТ справа от головки, представлено аналогично [math] L [/math] только возле головки МТ находятся старшие разряды. [math] S [/math] - номер текущего состояния [math] C [/math] - символ на который указывает головка ленты. Тогда всем переходам соответствует функция [math] \mathrm{f}([L,R,S,C]) [/math] принимающая состояние МТ и возвращающая новое состояние. Покажем что она примитивно рекурсивная . При применении перехода в [math] C [/math] записывается новый символ,затем из-за сдвига головки в [math] L [/math] и [math] R [/math] в конец добавляется новая цифра или удаляется старая, затем в [math] C [/math] записываетcя символ после сдвига, и в конце перехода в [math] S [/math] записывается новое состояние автомата. Операции добавления в конец цифры или удаления последней цифры легко выражаются через простые арифметические операции, следовательно они примитивно рекурсивные. Все остальные операции являются простыми операциями над списками, а значит они тоже примитивно рекурсивные. Из этого следует что применения перехода — примитивно рекурсивная функция. В силу того что нужный переход можно выбрать используя конечное число функций [math] \mathrm{if} [/math] следует что и [math] \mathrm{f} [/math] также является примитивно рекурсивной функцией. Функции преобразование аргументов в формат входных данных для МТ и получения ответа по состоянию МТ также выражаются через простые арифметические операции а значит они примитивно рекурсивные. Назовем их [math]\mathrm{IN} [/math] и [math] \mathrm{OUT} [/math]. Рассмотрим функцию двух аргументов [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) [/math] которая принимает состояние МТ , число шагов [math] t [/math] и возвращает состояние МТ после [math] t [/math] шагов. Покажем что [math]\mathrm{N}[/math] - примитивно рекурсивная функция. [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t) = [L,R,S,C] [/math] [math] \mathrm{N}([L,R,S,C],t+1) = \mathrm{h}([L,R,S,C],t+1,\mathrm{N}([L,R,S,C],t)) [/math] , где [math] \mathrm{h}([L,R,S,X],y,[L1,R1,S1,C1]) = \mathrm{f}([L1,R1,S1,C1]) [/math] Вместо [math] t [/math] подставим [math] \mathrm{T}(args) [/math] и в итоге получим что [math] \mathrm{F}(args) = \mathrm{OUT}(\mathrm{N}(\mathrm{IN}(args),\mathrm{T}(args))) [/math] - примитивно рекурсивная функция.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. 4-е изд., испр., М.: МЦНМО, 2012
• Рекурсивные функции на википедии