Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Определение:

Грамматикой в нормальной форме Грейбах (англ. Greibach normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут содержаться только правила одного из следующих типов: [math] A \rightarrow a\gamma [/math] [math] S \rightarrow \varepsilon [/math] где [math] a [/math] — терминал, [math] A [/math] — нетерминал, [math] S [/math] — стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), [math] \varepsilon [/math] — пустая строка, [math] \gamma [/math] — строка из не более, чем двух нетерминалов. Таким образом, пустая строка выводится только из стартового нетерминала, однако он по-прежнему может участвовать в формировании правил первого типа. (Это утверждение применимо и к ослабленной нормальной форме Грейбах)

Определение:

Грамматикой в ослабленной нормальной форме Грейбах (англ. Greibach weak normal form) называется контекстно-свободная грамматика, в которой могут содержаться только правила одного из следующих типов: [math] A \rightarrow a\gamma [/math] [math] S \rightarrow \varepsilon [/math] где [math] a [/math] — терминал, [math] A [/math] — нетерминал, [math] S [/math] — стартовый нетерминал (причём он не должен встречаться в правых частях правил), [math] \varepsilon [/math] — пустая строка, [math] \gamma [/math] — строка из произвольного числа терминалов и нетерминалов.

Приведение грамматики к ослабленной нормальной форме Грейбах

Теорема:

Любую контекстно-свободную грамматику можно привести к ослабленной нормальной форме Грейбах.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим контекстно-свободную грамматику [math] \Gamma [/math]. Для приведения её к нормальной ослабленной форме Грейбах нужно выполнить три шага. На каждом шаге мы строим новую грамматику, допускающую тот же язык, что и [math] \Gamma [/math]. Избавимся от [math] \varepsilon [/math]-правил. Для этого воспользуемся алгоритмом удаления [math] \varepsilon [/math]-правил. Воспользуемся алгоритмом устранения левой рекурсии.Получим грамматику, все правила которой будут иметь следующий вид: [math] A_i \rightarrow a \gamma [/math], [math] A_i \rightarrow A_j \gamma [/math], где [math] A_i [/math], [math] A_j [/math] — нетерминалы, [math] a [/math] — терминал, [math] \gamma [/math] — произвольная последовательность из терминалов и нетерминалов, [math] i \lt j [/math]. Воспользуемся следующей функцией для придания грамматике нужного вида: greibah([math] \Gamma [/math]) for i = n .. 1 for j = i + 1 .. n Для каждого правила вывода из [math] A_j \rightarrow \delta_1 | \ldots | \delta_k [/math] заменить каждое правило [math] A_i \rightarrow A_j \gamma [/math] на [math] A_i \rightarrow \delta_1\gamma | \ldots | \delta_k\gamma [/math]. После каждой итерации главного цикла все правила для [math] A_k [/math] (где [math]k \geqslant i[/math]) будут иметь вид [math] A_k \rightarrow a \gamma [/math]. Значит, после применения процедуры все правила грамматики будут иметь вид [math] A \rightarrow a \gamma [/math]. Таким образом, мы получили грамматику в ослабленной нормальной форме Грейбах, которая допускает тот же язык, что и исходная.

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Текущий шаг	Грамматика после применения правила
0. Исходная грамматика	[math]S\rightarrow XA|BB[/math] [math]B\rightarrow b|SB[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]
1. Удаление [math]\varepsilon[/math]-правил	[math]S\rightarrow XA|BB[/math] [math]B\rightarrow b|SB[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]
2. Удаление стартового нетерминала из правых частей правил	[math]S\rightarrow XA|BB[/math] [math]B\rightarrow bAB|BBB|b[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]
3. Удаление левой рекурсии	[math]S\rightarrow XA|BB[/math] [math]B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ[/math] [math]Z\rightarrow BB|BBZ[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]
4. Выполняем функцию greibah для правила [math]S\rightarrow XA|BB[/math]	[math]S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|BZB[/math] [math]B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ[/math] [math]Z\rightarrow BB|BBZ[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]
5. Выполняем функцию greibah для правила [math]Z\rightarrow BB|BBZ[/math]	[math]S\rightarrow bA|bABB|bB|bABZB|BZB[/math] [math]B\rightarrow bAB|b|bABZ|bZ[/math] [math]Z\rightarrow bABB|bB|bABZB|bZB|bABBZ|bBZ|bABZBZ|bZBZ[/math] [math]X\rightarrow b[/math] [math]A\rightarrow a[/math]

Асимптотика

Алгоритм состоит из трех шагов, сложность первого и последнего шага равны [math]O(\left| \Gamma \right|)[/math] и [math]O(\left| \Gamma \right| ^ 2)[/math] соответственно. Таким обзом, сложность алгоритма является [math]O(\left| \Gamma \right| ^ 2) + O\left(n\sum\limits_{i=1}^n a_j\right)[/math], где второй член — сложность алгоритма удаления левой рекурсии.

Применение

Простота доказательств

Использование нормальных форм существенно упрощает доказательство теорем. Например, использование нормальной формы Грейбах позволяет доказать, что для каждого контекстно-свободного языка (не содержащего [math]\varepsilon[/math]) существует автомат с магазинной памятью без переходов по [math]\varepsilon[/math].

Разбор грамматики

Нормальная форма Холмского позволяет производить разбор грамматики. Например, с помощью алгоритма Кока-Янгера-Касами. В свою очередь, нормальная форма Грейбах позволяет использовать метод рекурсивного спуска, сложность которого является линейной, несмотря на возвраты.

См. также

• Контекстно-свободные грамматики
• Нормальная форма Куроды
• Нормальная форма Хомского

Источники информации

• Wikipedia — Greibach normal form
• MA513: Formal Languages and Automata Theory

[http://www.cis.upenn.edu/~jean/old511/html/cis51108sl4b.pdf Jean Gallier — Discrete Mathematics