XOR-SAT — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (→‎Описание)
(→‎Пример решения XORSAT)
Строка 55: Строка 55:
 
|+
 
|+
 
!colspan="2"|Нормированная система уравнений
 
!colspan="2"|Нормированная система уравнений
−
|-align="center"
 
−
!Используя свойства Булевых колец
 
−
(<tex>\neg x=1 \oplus x</tex>, <tex>x \oplus x=1</tex>)
 
−
|
 
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
!Переменные
 
!Переменные
Строка 79: Строка 75:
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>
 +
!Используя свойства Булевых колец
 +
(<tex>\neg x=1 \oplus x</tex>, <tex>x \oplus x=1</tex>),<br>
 +
избавимся от отрицаний в нашей системе
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
!
 
!
Строка 122: Строка 121:
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>
 +
!Составим матрицу по следующему правилу:
 +
Если переменная присутствовала в данном конъюнкте<br>
 +
ставим в ячейку <tex>1</tex>, иначе <tex>0</tex>
 
|-align="center"
 
|-align="center"
 
!
 
!
Строка 351: Строка 353:
 
</center>
 
</center>
 
|}
 
|}
−
Следствие:<tex>R</tex>(<tex>a</tex>,<tex>c</tex>,<tex>d</tex>)<tex>\land</tex> <tex>R</tex>(<tex>b</tex>,<tex>\neg c</tex>,<tex>d</tex>)<tex>\land</tex><tex>R</tex>(<tex>a</tex>,<tex>b</tex>,<tex>\neg d</tex>)<tex>\land</tex><tex>R</tex>(<tex>a</tex>,<tex>\neg b</tex>,<tex>\neg c</tex>)<font color='red'>∧ R(¬a,b,c)</font>
+
===Решение===
 +
Если <font color='red'>красный пункт</font> присутствует:<i> Решений нет</i><br>
 +
Иначе:<br>
 +
<tex>a=0=\mathtt {false}</tex><br>
 +
<tex>b=1=\mathtt {true}</tex><br>
 +
<tex>c=0=\mathtt {false}</tex><br>
 +
<tex>d=1=\mathtt {true}</tex><br>
 +
===Следствие===
 +
{| class="wikitable"
 +
!<tex>R(a,\ b,\ c) \land R(b,\ \neg c ,\ d) \land R(a,\ b ,\ \neg d) \land R(a ,\ \neg b ,\ \neg c)</tex>
 +
! style="background: #ffdddd;" |<tex> \land (\neg a,\ b ,\ c) </tex>
 +
|} Не является решением <tex>1</tex>-<tex>\mathrm {in}</tex>-<tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex>,a <tex>(a \lor c \lor d) \land (b \lor \neg c \lor d) \land (a \lor b \lor \neg d) \land (a \lor \neg b \lor \neg c)</tex> является  решением <tex>3</tex>-<tex>\mathrm {SAT}</tex> с <tex>a=c=\mathtt {false}</tex> и <tex>b=d=\mathtt {true}</tex>.
  
 
==Вычислительная сложность==
 
==Вычислительная сложность==

Версия 14:42, 7 января 2017

Задача:
[math]\mathrm {XORSAT}[/math] (XOR-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде XOR-КНФ, таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].


Описание

Одним из особых случаев [math]\mathrm {SAT}[/math] является класс задач, где каждый конъюнкт содержит операции [math]\oplus[/math] (т. е. исключающее или), а не (обычные) [math]\lor[/math] операторы.Формально, обобщенная КНФ с тернарным булевым оператором [math] R[/math] работает только если [math] 1[/math] или [math] 3[/math] переменные дают [math] \mathtt {true}[/math] в своих аргументах. Конъюнкты, имеющие более [math] 3[/math] переменных могут быть преобразованы в сочетании с формулой преобразования с сохранением выполнимости булевой функции, т. е. [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] может быть снижена до [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math][1]


Это задача Р-класса, так как [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] формулу можно рассматривать как систему линейных уравнений по модулю [math]2[/math], которая, в свою очередь, может быть решена за [math]O(n^3)[/math] методом Гаусса [2].Такое представление возможно на основе связи между Булевой алгеброй и Булевым кольцом [3] и том факте, что арифметика по модулю [math]2[/math] образует конечное поле [4].

Пример решения XORSAT

(Красные пункты не являются обязательными)
Пример

[math](a \oplus b \oplus c) \land (b \oplus \neg c \oplus d) \land (a \oplus b \oplus \neg d) \land (a \oplus \neg b \oplus \neg c)[/math] [math] \land (\neg a \oplus b \oplus c) [/math]
Решение XOR-SAT задачи методом Гаусса
Система уравнений
Переменные Значение
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg d [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] \neg b [/math] [math]\oplus[/math] [math]\neg c [/math] [math]=1[/math]
[math] \neg a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math] \cong 1 [/math]
("[math]1[/math]" означает «[math] \mathtt {true}[/math]», "[math]0[/math]" означает «[math] \mathtt {false}[/math]»)

Каждый конъюнкт ведет к одному уравнению.

Нормированная система уравнений
Переменные Значение
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=1[/math]
[math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=0[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] d [/math] [math]=0[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math]=1[/math]
[math] a [/math] [math]\oplus[/math] [math] b [/math] [math]\oplus[/math] [math] c [/math] [math] \cong 0 [/math]
Используя свойства Булевых колец

([math]\neg x=1 \oplus x[/math], [math]x \oplus x=1[/math]),
избавимся от отрицаний в нашей системе

Матрица соответствующих коэффициентов
[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Строка
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]C[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]D[/math]
Составим матрицу по следующему правилу:

Если переменная присутствовала в данном конъюнкте
ставим в ячейку [math]1[/math], иначе [math]0[/math]

Преобразования, чтобы сформировать

верхнюю треугольную матрицу

[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Операция
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]C[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]D[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]C[/math]
[math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]D[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E=C \oplus A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]F=D \oplus A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]B[/math]
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]A[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]G=F \oplus E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H=B \oplus E[/math]
Преобразования, чтобы сформировать

диагональную матрицу

[math]a[/math] [math]b[/math] [math]c[/math] [math]d[/math] Операция
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]I=A \oplus H[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]E[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]J=G \oplus H[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H[/math]
[math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]K=I \oplus J[/math]
[math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]L=E \oplus J[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]J[/math]
[math]0[/math] [math]0[/math] [math]0[/math] [math]1[/math] [math]1[/math] [math]H[/math]

Решение

Если красный пункт присутствует: Решений нет
Иначе:
[math]a=0=\mathtt {false}[/math]
[math]b=1=\mathtt {true}[/math]
[math]c=0=\mathtt {false}[/math]
[math]d=1=\mathtt {true}[/math]

Следствие

[math]R(a,\ b,\ c) \land R(b,\ \neg c ,\ d) \land R(a,\ b ,\ \neg d) \land R(a ,\ \neg b ,\ \neg c)[/math] [math] \land (\neg a,\ b ,\ c) [/math]
Не является решением [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math],a [math](a \lor c \lor d) \land (b \lor \neg c \lor d) \land (a \lor b \lor \neg d) \land (a \lor \neg b \lor \neg c)[/math] является решением [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] с [math]a=c=\mathtt {false}[/math] и [math]b=d=\mathtt {true}[/math].

Вычислительная сложность

Формула с [math]2[/math]-мя дизъюнктами может быть неудовлетворена(красный), [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math](зелёный), [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math](синий), или/и [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math], в зависимости от количества переменных со значением [math] \mathtt {true}[/math] в [math]1[/math]-м (горизонтальном) и втором (вертикальном) конъюнкте.

Поскольку [math]a \oplus b \oplus c[/math] принимает значение [math] \mathtt {true}[/math], если и только если [math]1[/math] из [math]3[/math] переменных [math]\{a,\ b,\ c\}[/math] принимает значение [math] \mathtt {true}[/math], каждое решение в [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задачи для данной КНФ-формулы является также решением [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задачи, и, в свою очередь,обратное также верно.
Как следствие, для каждой КНФ-формулы, можно решить [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math]-задачу и на основании результатов сделать вывод, что либо [math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] задача решаема или, что [math]1[/math]-[math]\mathrm {in}[/math]-[math]3[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math]-задача нерешаема.
При условии, что [math]\mathrm {P}[/math]- и [math]\mathrm {NP}[/math]-классы не равны, ни [math]2[/math]-, ни Хорн-, ни [math]\mathrm {XOR}[/math]-[math]\mathrm {SAT}[/math] не являются задачи NP-класса, в отличии от [math]\mathrm {SAT}[/math].

См. также

Примечания

  1. ↑ Alfred V. Aho; John E. Hopcroft; Jeffrey D. Ullman.The Design and Analysis of Computer Algorithms. Addison-Wesley.; здесь: Thm.10.4, 1974.
  2. ↑ Метод Гаусса
  3. ↑ Связь между Булевой алгеброй и Булевым кольцом
  4. ↑ Конечное поле

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=XOR-SAT&oldid=59052»