Наибольший общий делитель

Определение

Определение:

Наибольшим общим делителем (англ. [math]\gcd[/math] — greatest common divisor) для двух целых чисел [math]m[/math] и [math]n[/math] называется наибольший из их общих делителей. Более формально, [math]\gcd(a, b) =\max \left\{ d \mid a \equiv 0 \left(\bmod d\right), b \equiv 0 \left(\bmod d\right) \right\}[/math]

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел [math]m[/math] или [math]n[/math] не ноль.

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел:

Определение:

Наибольший общий делитель для целочисленного множества [math]A[/math] определяется как [math]\gcd(A) = \max \left\{ d \mid \forall a_j \in A,\: a_j \equiv 0 \left(\bmod d \right)\right\}[/math]

Алгоритм Евклида

Стандартный алгоритм Евклида

Пусть [math]a[/math] и [math]b[/math] — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

[math] a,\, b,\,r_1 \gt r_2 \gt r_3 \gt r_4 \gt \cdots \gt r_n[/math]

определена тем, что каждое [math]r_k[/math] — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть

[math]a = bq_0 + r_1[/math]

[math]b = r_1q_1 + r_2[/math]

[math]r_1 = r_2q_2 + r_3[/math]

[math]\cdots[/math]

[math]r_{k-2} = r_{k-1} q_{k-1} + r_k[/math]

[math]\cdots[/math]

[math]r_{n-1} = r_n q_n[/math]

Тогда НОД(a,b), наибольший общий делитель [math]a[/math] и [math]b[/math], равен [math]r_n[/math], последнему ненулевому члену этой последовательности.

Существование таких [math]r_1, r_2, ...[/math], то есть возможность деления с остатком [math]m[/math] на [math]n[/math] для любого целого [math]m[/math] и целого [math]n\ne 0[/math], доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:

Лемма:

Пусть [math]a = bq + r[/math], тогда [math]\gcd (a,b) = \gcd (b,r).[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть k — любой общий делитель чисел a и b, не обязательно максимальный, тогда [math] a = t_1 k [/math] ; [math] b = t_2 k; [/math] где [math] t_1 [/math] и [math] t_2 [/math] — целые числа из определения. Тогда k также общий делитель чисел b и r, так как b делится на k по определению, а [math]r = a - bq = (t_1 - t_2 q)k [/math] (выражение в скобках есть целое число, следовательно, k делит r без остатка) Обратное также верно и доказывается аналогично 2) - любой делитель b и r так же является делителем a и b. Следовательно, все общие делители пар чисел a,b и b,r совпадают. Другими словами, нет общего делителя у чисел a,b, который не был бы также делителем b,r, и наоборот. В частности, максимальный делитель остается тем же самым. Что и требовалось доказать.

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]\gcd (0,r) = r[/math] для любого ненулевого [math]r.[/math]

Проще сформулировать алгоритм Евклида так: если даны натуральные числа [math]a[/math] и [math]b[/math] и, пока получается положительное число, по очереди вычитать из большего меньшее, то в результате получится НОД.

Расширенный алгоритм Евклида

Формулы для [math]r_i[/math] могут быть переписаны следующим образом:

[math]r_1 = a + b(-q_0)[/math]

[math]r_2= b - r_1q_1 = a(-q_1)+b(1+q_1q_0)[/math]

[math]\cdots[/math]

[math]\gcd (a,b) = r_n = as + bt[/math]

здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Связь с цепными дробями

Отношение [math]a/b[/math] допускает представление в виде цепной дроби:

[math]\frac ab=[q_0; q_1, q_2,\cdots,q_n][/math].

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу [math]t/s[/math], взятому со знаком минус:

[math][q_0; q_1, q_2,\cdots,q_{n-1}] = -\frac ts[/math].