Разложение рациональной функции в ряд — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(→‎Общий алгоритм)
(→‎Общий алгоритм)
Строка 34: Строка 34:
 
# Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома <tex>P(z)</tex>, составив, таким образом, систему линейных уравнений.
 
# Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома <tex>P(z)</tex>, составив, таким образом, систему линейных уравнений.
 
# Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
 
# Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.
−
# Разобьем знаменатель <tex>Q(z)</tex> на множители <tex>Q(z) = (z_k-z)^{k_s} *\ldots</tex>, где <tex>z_1, z_2, \ldots, z_s</tex> - корни уравнения <tex>Q(z) = 0</tex>. При этом, <tex>k_1+k_2+\ldots+k_s=\deg (Q)</tex>. После разбиения знаменателя на множители получим: <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks}</tex> (k1, ks - сделать индексами)
 
−
# Приведем G(z) к сумме дробей, знаменатели которых будут иметь вид (zj−z)^kj, а числители — полиномы Pj(z), причем deg Pj(z)<kj. <tex>G(z)=\dfrac{P(z)}{(z1-z)^k1 *...(zs-z)^ks} = \sum\limits \dfrac{Pj(z)}{(zj-z)^kj}</tex>. Найдем Pj(z) с помощью [[Разложение рациональной функции в ряд#Метод неопределенных коэффициентов|метода неопределенных коэффициентов]].
 
−
<br>
 
  
 
==Метод неопределенных коэффициентов==
 
==Метод неопределенных коэффициентов==

Версия 14:36, 28 мая 2017

Определения

Определение:
Рациональная функция — это функция вида:

[math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math],

где [math]P[/math] и [math]Q[/math] - полиномы.


Рациональные производящие функции получаются при решении линейных рекуррентных соотношений. По этой причине актуальной является задача о разложении рациональной функции в ряд по степеням переменной [math]z[/math].
Чтобы разложить дробь в ряд, необходимо разбить её на сумму элементарных дробей.

Определение:
Элементарными дробями будем называть дроби вида:

[math]\dfrac{A}{(x-a)^n}, \qquad \dfrac{Bx + C}{(x^2 + px + q)^m}[/math],

где [math] m, n \geqslant 1[/math], и [math]p^2 - 4q \lt 0[/math]


Затем, элементарные дроби сможем разложить в ряд, пользуясь формулами преобразования производящих функций и таблицей производящих функций.

Общий алгоритм

  1. Привести дробь [math]\dfrac{P(z)}{Q(z)}[/math] к такому виду, чтобы степень числителя была меньше степени знаменателя. Если [math]\deg(P) \gt \deg(Q)[/math], то можем записать [math]G(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)} = R(z)+\dfrac{P_0(z)}{Q(z)},[/math] где [math]\deg(P_0) \lt \deg(Q)[/math].
  2. Отыскать корни уравнения [math]Q(z)=0[/math] и разбить знаменатель на множители вида [math](z_s-z)^{k_s}[/math] (здесь [math]z_s[/math] — корень кратности [math]k_s[/math]).
  3. Записать сумму дробей, знаменатили которых будут иметь вид [math](z_s-z)^{k_s}[/math], а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень [math]k_s-1[/math].
  4. Сложить выписанные дроби и сгруппировать слагаемые в числителе по степеням [math]z[/math].
  5. Приравнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома [math]P(z)[/math], составив, таким образом, систему линейных уравнений.
  6. Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

  1. Записать сумму дробей, знаменатили которых будут иметь вид (zs−z)ks, а числители — полиномы с неопределёнными коэффициентами, имеющие степень ks−1.
  2. Сложить выписанные дроби и сгруппировать слагаемые в числителе по степеням z.
  3. Прировнять полученные выражения с неопределёнными коэффициентами к соответсвующим коэффициентам полинома P(z), составив, таким образом, систему линейных уравнений.
  4. Решить систему и получить значения неопределённых коэффициентов.

Примеры

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Разложение_рациональной_функции_в_ряд&oldid=60980»