Независимые случайные величины

Определение

Независимые случайные величины - [math] \xi [/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми, если для [math]\forall \alpha [/math] и [math]\beta \in \mathbb R[/math] события [math] \xi \leqslant \alpha[/math] и [math] \eta \leqslant \beta[/math] независимы. Иначе говоря случайная величина [math]\xi[/math] называется независимой от величины [math]\beta[/math], если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины [math]\xi[/math] не зависит от значения величины [math]\beta[/math].

Замечание

Стоить отметить, что если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай [math]\xi[/math] = [math]\alpha[/math], [math]\eta[/math] = [math]\beta[/math]. Но не достаточно рассматривать случай [math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. [math]\Omega[/math] = {0, 1}. Пусть [math]\xi[/math](i) = i, [math]\eta[/math](i) = i + 2. Если перебрать все значения [math]\alpha[/math] ([math]\alpha[/math] = [math]\beta[/math]), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Примеры

Честная монета

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость [math]\Omega[/math] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] - случайные величины. [math]\xi[/math](i) = i % 2, [math]\eta[/math](i) = [i [math]\geqslant[/math] 4]. Пусть [math]\alpha[/math] = 0, [math]\beta[/math] = 0. Тогда P([math]\xi \leqslant[/math] 0) = 1/2, P([math]\eta \leqslant[/math] 0) = 1/2, P(([math]\xi \leqslant[/math] 0)[math]\cap[/math]([math]\eta \leqslant[/math] 0)) = 1/4. Эти события независимы, а значит случайные величины [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] независимы.

Пример Берншейтна

Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета. Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 • 1/2, то все события попарно независимы. Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупности.

Литература и источники информации

Википедия [1]