Независимые события

Определение:

Два события A и B называются независимыми, если [math] p(A \cap B) = p(A)p(B) [/math]

Примеры

• Игральная кость

[math] A = \{2,4,6\}\ p(A)=\frac{1}{2} [/math] - вероятность выпадения чётной цифры

[math] B=\{1,2,3\}\ p(B)=\frac{1}{2} [/math] - вероятность выпадения одной из первых трёх цифр

[math] p(A \cap B)=p(\{2\})=\frac{1}{6}[/math]

[math]p(A)p(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B) \neq p(A)p(B)[/math], значит эти события не независимы.

• Карты

[math] A = \{(1,j)\}\ p(A)=\frac{1}{4} [/math] - вероятность выпадения карты заданной масти

[math] B=\{(i,1)\}\ p(B)=\frac{1}{13} [/math] - вероятность выпадения карты заданного достоинства

[math] p(A \cap B)=p(\{(1,1)\})=\frac{1}{52}[/math] - вероятность выпадения карты заданной масти и заданного достоинства

[math]p(A)p(B)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{13}=\frac{1}{52}[/math]

Получаем, что [math]p(A \cap B)=p(A)p(B)[/math], значит эти события независимы.

Определение:

События называются независимыми в совокупности, если для [math]\forall i\subset \{1, ..., k\}[/math] [math]p(\bigcup\limits_{i \in I} A_{i}) = \prod\limits_{i \in I} p(A_{i})[/math]

Определение:

События [math]A_{1}, ...,A_{n}[/math] называются попарно независимыми, если для [math]\forall i \neq j[/math] [math]\Rightarrow A_{i}[/math] и [math]A_{j}[/math] - независимы.

Замечание

Попарно независимые события и события, независимые в совокупности - это не одно и то же. Пример: тетраэдр Бернштейна. Рассмотрим правильный тетраэдр, три грани которого окрашены соответственно в красный, синий, зелёный цвета, а четвёртая грань содержит все три цвета. Событие А (соответственно, В, С) означает, что выпала грань, содержащая красный (соответственно, синий, зелёный) цвета.

Вероятность каждого из этих событий равна 1/2, так как каждый цвет есть на двух гранях из четырёх. Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань из четырёх содержит два цвета. А так как 1/4 = 1/2 · 1/2, то все события попарно независимы.

Но вероятность пересечения всех трёх тоже равна 1/4, а не 1/8, т.е. события не являются независимыми в совокупности.