Дискретная случайная величина

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.

Формальное математическое определение: случайной величиной называется отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]

Плотность распределения

Рассмотрим случайную величину ξ, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел [math] x_1, x_2, ..., x_n[/math]. Пусть задана функция [math]p(x)[/math], значение которой в каждой точке [math] x_i (i=1,2, ...)[/math] равно вероятности того, что величина ξ примет значение [math] x_i [/math].

[math] p(x)[/math] называется плотностью распределения вероятностей случайной величины.

[math] p(x_i) = p(\xi = x_i) [/math]

Функция распределения

Функция распределения для случайной величины ξ выражается следующей формулой:

[math]F_\xi(a) = p(\xi \leqslant a)[/math]

Математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание([math]E\xi[/math]) - мера среднего значения случайной величины.

[math]E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)[/math]

Теорема:

[math]\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Пример

Пусть у нас есть "Честная кость"

[math] \xi(i) = i [/math]

[math] E\xi = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5[/math]