NL-полнота задачи о достижимости в графе

Формулировка задачи

Даны ориентированный граф [math] G = \langle V, E \rangle [/math] и две вершины [math] s, t[/math] в нем. Необходимо проверить, правда ли, что в графе [math] G [/math] существует путь из вершины [math] s [/math] в вершину [math] t [/math]. Эту задачу принято называть [math] st-connectivity [/math] или [math] STCON [/math].

Утверждение

Задача [math] STCON [/math] NL-полна.

Доказательство

Для доказательства NL-полноты необходимо показать, что эта задача NL-трудная и принадлежит классу NL.

Доказательство принадлежности задачи STCON классу NL

Для доказательства необходимо предъявить алгоритм для недетерминированной машины Тьюринга, который использует конечное число переменных, каждая из которых занимает [math] O(log n) [/math] памяти, где [math] n [/math] - размер входа для задачи и за время порядка [math] O(poly(n)) [/math] решает эту задачу.

Алгоритм:

1. Начиная с вершины [math] s [/math] недетерминированно переходит в одну из вершин, смежных с ней. (Очевидно, для этого необходимо конечное число переменных)

2. Проверяет, правда ли, что текущая вершина совпадает с [math] t [/math]. Если это так, возвращает TRUE.

3. Отдельно считает количество пройденных вершин. Как только это число превышает количество вершин в графе, то алгоритм возвращает FALSE, так как посетил некоторую вершину дважды.

Таким образом в каждый момент алгоритму достаточно хранить текущую вершину, количество посещенных вершин, финальную вершину [math] t [/math] и некоторое число вспомогательных переменных, для совершения переходов. Все эти переменные принимают значения не более, чем максимальный номер вершины, то есть как раз занимают [math] O(log n) [/math] памяти.

Так как, если из [math] s [/math] существует путь в [math] t [/math], то он имеет длину не более, чем количество вершин в графе, то алгоритм корректно возвращает FALSE.