Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста

Определение:

Существует упорядоченная пара конечных последовательностей [math](( a_1 , \ldots , a_n ) , ( b_1 , \ldots , b_n ))[/math], где [math]a_i \in \Sigma ^*[/math] и [math]b_i \in \Sigma ^*[/math] для всех [math]i[/math]. Вопрос существования непустой последовательности индексов [math]( i_1 , \ldots , i_k )[/math], удовлетворяющей условию [math]a_{i_1} \ldots a_{i_k} = b_{i_1} \ldots b_{i_k}[/math], где [math] 1 \leq i_j \leq n[/math] для каждого j, называется проблемой соответствий Поста (ПСП).

Теорема:

Не существует алгоритма, позволяющего по произвольной постовской системе соответствия над алфавитом узнать, имеет ли она решение. (Другими словами, проблема соответствий Поста неразрешима.)

Определение:

Модифицированной проблемой соответствий Поста (МПСП) называется вопрос существования последовательности индексов [math]( 1 , i_1, \ldots , i_k )[/math], удовлетворяющих условию [math]a_1 a_{i_1} \ldots a_{i_k} = b_1 b_{i_1} \ldots b_{i_k}, [/math] при [math] 1 \leq i_j \leq n[/math] [math]\forall j[/math] для упорядоченной пары конечных последовательностей [math](( a_1 , \ldots , a_n ) , ( b_1 , \ldots , b_n ))[/math], где [math]a_i \in \Sigma ^*[/math] и [math]b_i \in \Sigma ^*[/math] [math]\forall i[/math].

Теорема:

Язык имеющих решение проблем соответствий поста перечислим, но не разрешим. (Не существует примера неразрешимого языка, который является языком программ)

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Полуразрешимость: Возьмём по возрастанию все возможные наборы индексов, применим конкатинацию и сравним. Сошлось - задача решена, иначе - программа зависла. Докажем неразрешимость: Сначала докажем для случая, когда [math]i_1 = 1[/math]. Считаем, что Машина Тьюринка ([math]MT[/math]) никогда не приходит в [math]N[/math] - недопуск. [math]MT: (m, \omega)[/math]. Задача [math]m(\omega) = Y[/math] не разрешима. Предположим, что мы умеем решать МПСП. [math]a_1 = \$ \#_s \omega \$[/math], [math]b_1 = \$[/math]. Получаем [math]\$ A_0 \$ \ldots \$ A_k \$[/math], [math]\$ A_i \ldots[/math]. Если [math]MT[/math] остановится, добьёмся того, чтобы строка закончилось. Иначе строки будут расти до бесконечности, но никогда не закончатся. [math]\forall c \in \Pi[/math] заведём пару [math](a_i=c b_i = c), (a_i = \$ b = \$)[/math]. [math]b[/math] должно сойтись с соответствующей [math]a[/math] в предыдущем мгновенном описании. Соответственно, получаем [math]a_i = d \#_p[/math], [math]b_i = \#_q c[/math] и [math]\delta(q, c) = \lt p, d, \rightarrow\gt [/math], а также [math]a_i = \#_p a d[/math], [math]b_i a \#_q e[/math] и [math]\delta (a, c) = \lt p, d, \leftarrow\gt [/math]. Аналогично поступаем и с переходом на месте, или считаем, что такого не бывает. Как может быть устроен префикс решения МПСП: [math]a[/math]: [math]| \$ | \#_s \omega_1 \$ | d \#_p | w_2 \ldots | \$ | \#_y \$ | \$ |[/math] [math]b[/math]: [math]| \$ | \omega_1 | \omega_2 \ldots | \$ | \#_y \$ \$ |[/math] т.е. добавляем элементы и находим соответствующие переходы. Требуется добиться остановки. Для этого добавляется далее: [math]a = \#_y[/math], [math]b = \#_y c[/math] или [math]a = \#_y[/math], [math]b = c \#_y[/math] или [math]a = \$[/math], [math]b = \#_y \$ \$[/math] Теперь остаётся избавиться от требования фиксированного первого индекса, т.е. перейти от МПСП к ПСП: Известно: Существует решение МПСП [math]\Rightarrow[/math] существует решение ПСП Не существует решения МПСП [math]\Leftarrow[/math]не существует решения ПСП Необходимо: Не существует решения МПСП [math]\Rightarrow[/math] не существует решения ПСП Возьмём экземпляр задачи МПСП: [math](( a_1 , \ldots , a_n ) , ( b_1 , \ldots , b_n ))[/math]. Вставим между каждой парой символов во всех строках символ [math]*[/math]. [math]i = 1[/math] [math]a_1 = * c_1 * c_2 \ldots c_l *[/math] [math]b_1 = * c_1 * c_2 \ldots c_l[/math] [math]i = 2 \ldots n [/math]: [math]a_i = c_1 c_2 \ldots c_l \rightarrow a_i = c_1 * c_2 * \ldots * c_l *[/math] [math]b_i = c_1 c_2 \ldots c_l \rightarrow b_i = c_1 * c_2 * \ldots * c_l[/math] [math]i = n + 1[/math] [math]a_{n+1} = \$[/math] [math]b_{n+1} = *\$[/math] Нужно начать с [math](a_1, b_1)[/math], т.к. все остальные пары начинаются с различных символов. Возникающее однозначное соответствие может быть решением этой системы и решением исходной задачи, к которой всё начиналось с пары [math](a_1, b_1)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений.