Композиция отношений

Определение:

Композицией (произведением, суперпозицией) бинарных отношений [math]R\subseteq A\times B[/math] и [math]S\subseteq B\times C[/math] называется такое отношение [math] (R \circ S) \subseteq A\times C[/math], что: [math]\forall a \in A, c \in C : a (R \circ S) c \iff \exists b \in B : (a R b) \wedge (b S c) [/math].

Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве [math]A[/math] населенных пунктов [math]R\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на поезде", а [math]S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение [math]R\circ S\subseteq A\times A[/math] - отношение "можно добраться из пункта А в пункт Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе (только по одному разу)".

Степень отношений

Определение:

Степень отношения [math]R^{n} \subseteq A\times A[/math], определяется следующим образом: [math] R^{n} = R^{n-1} \circ R; [/math] [math] R^{1} = R; [/math] [math] R^{0} = \{ (x, x) \mid x \in A \}[/math];

В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:

[math] R^{+} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=1} R^{i}; [/math]

[math] R^{*} = \bigcup\limits^{\infty}_{i=0} R^{i} [/math] — Транзитивное замыкание отношения R

Обратное отношение

Определение:

Отношение [math]R^{-1} \subseteq B\times A[/math] называют обратным для отношения [math] R \subseteq A\times B[/math], если: [math] aR^{-1}b \iff bRa [/math]

Определение:

Ядром отношения R называется отношение [math] R\circ R^{-1} [/math]

Свойства

• Ядро отношения R симметрично: [math] a (R \circ R^{-1}) b \iff \exists c: (a R c) \wedge (c R^{-1} b) \iff \exists c: (b R c) \wedge (c R^{-1} a) \iff b (R \circ R^{-1} ) a[/math]

• [math] (R^{-1})^{-1} = R [/math]

• [math] (R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T) [/math]

• [math] (R \circ S) ^ {-1} = (S ^ {-1}) \circ (R ^ {-1}) [/math]

• [math] (R \cup S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cup (S^{-1}) [/math]

• [math] (R \cap S) ^ {-1} = (R^{-1}) \cap (S^{-1}) [/math]