Ядро — различия между версиями
256331 (обсуждение | вклад) (Добавлено описание ядер, подредактированы формулы) |
256331 (обсуждение | вклад) (Исправлены опечатки) |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[File:kernel3_2.png|500px|thumb|right|Пример использования ядерного трюка]] | [[File:kernel3_2.png|500px|thumb|right|Пример использования ядерного трюка]] | ||
| − | '''Ядерный трюк'''(анг. ''kernel function'') метод в машинном обучении, позволяющий перевести элементы для случая линейной неразделимости в новое линейно разделимое | + | '''Ядерный трюк'''(анг.-- ''kernel function'') метод в машинном обучении, позволяющий перевести элементы для случая линейной неразделимости в новое линейно разделимое пространство. Такое пространство называют '''спрямляющим'''. Поскольку для любой непротиворечивой выборки соответствующее пространство большей размерности существует, главной проблемой становится его найти. |
== Определение == | == Определение == | ||
| − | Функция $K(x,x'):X×X\rightarrow \mathbb{R}$ называется '''ядром''', если она может быть представлена в виде $K(x,x')=\langle \varphi(x),\varphi(x')\rangle_H$ при некотором отображении $\varphi(x):X\rightarrow H$,где H {{---}} пространство со скалярным произведением. | + | Функция $K(x,x'):X×X\rightarrow \mathbb{R}$ называется '''ядром''', если она может быть представлена в виде $K(x,x')=\langle \varphi(x),\varphi(x')\rangle_H$ при некотором отображении $\varphi(x):X\rightarrow H$,где $H$ {{---}} пространство со скалярным произведением. |
| − | Поскольку для задачи линейного разделения объектов не требуется их признаковое описание, а достаточно скаляров, то можно заменить скалярное произведение $\langle x,x'\rangle$ на ядро $K(x,x')$ Более того, можно вообще не строить спрямляющее пространство $H$ в явном виде, и вместо подбора отображения $\varphi$ заниматься непосредственно подбором ядра. | + | Поскольку для задачи линейного разделения объектов не требуется их признаковое описание, а достаточно скаляров, то можно заменить скалярное произведение $\langle x,x'\rangle$ на ядро $K(x,x')$. Более того, можно вообще не строить спрямляющее пространство $H$ в явном виде, и вместо подбора отображения $\varphi$ заниматься непосредственно подбором ядра. |
| − | Можно пойти ещё дальше, и вовсе отказаться от признаковых описаний объектов. Во многих практических задачах объекты изначально задаются информацией об их попарном взаимоотношении, например, отношении сходства. Если эта | + | Можно пойти ещё дальше, и вовсе отказаться от признаковых описаний объектов. Во многих практических задачах объекты изначально задаются информацией об их попарном взаимоотношении, например, отношении сходства. Если эта информация допускает представление в виде двуместной функции $K(x,x')$, удовлетворяющей аксиомам скалярного произведения, то задача может решаться методом [[Метод опорных векторов (SVM) | опорных векторов ]]. |
== Выбор функции ядра == | == Выбор функции ядра == | ||
| − | '''Теорема Мерсера''': Функция K(x,y) является ядром тогда и только тогда, когда она симметрична: $K(x,y)=K(y,x)$ и неотрицательно определена, то есть $\forall g: X \rightarrow \mathbb{R}, \int_X \int_X K(x, x')g(x)g(x')dxdx' \geqslant 0$ | + | '''Теорема Мерсера''': Функция $K(x,y)$ является ядром тогда и только тогда, когда она симметрична: $K(x,y)=K(y,x)$ и неотрицательно определена, то есть $\forall g: X \rightarrow \mathbb{R}, \int_X \int_X K(x, x')g(x)g(x')dxdx' \geqslant 0$ |
Таким образом мы видим, что класс ядер достаточно широк. | Таким образом мы видим, что класс ядер достаточно широк. | ||
| − | Проверка неотрицательной определённости функции в реальных задачах может быть сложной. Чаще всего ограничиваются перебором конечного числа функций, про которые известно, что они являются ядрами. Среди них выбирается лучшая(обычно по критерию скользящего контроля). Такое решение не будет оптимальным и на сегодняшний день проблема выбора ядра, оптимального для данной конкретной задачи, остаётся открытой. | + | Проверка неотрицательной определённости функции в реальных задачах может быть сложной. Чаще всего ограничиваются перебором конечного числа функций, про которые известно, что они являются ядрами. Среди них выбирается лучшая (обычно по критерию скользящего контроля). Такое решение не будет оптимальным, и на сегодняшний день проблема выбора ядра, оптимального для данной конкретной задачи, остаётся открытой. |
== Конструктивные способы построения ядер == | == Конструктивные способы построения ядер == | ||
| Строка 32: | Строка 32: | ||
7. Если $s:X×X\rightarrow R$ произвольная симметричная интегрируемая функция, то $K(x,x′) =\int_Xs(x,z)s(x',z)dz$ является ядром. | 7. Если $s:X×X\rightarrow R$ произвольная симметричная интегрируемая функция, то $K(x,x′) =\int_Xs(x,z)s(x',z)dz$ является ядром. | ||
| − | 8. Функция вида $K(x,x') = k(x−x)$ является ядром тогда и только тогда, когда Фурье-образ $F[k](\omega) = (2\pi)^{\frac{n}{2}}\int_Xe^{−i\langle\omega,x\rangle }k(x)dx$ неотрицателен. | + | 8. Функция вида $K(x,x') = k(x−x')$ является ядром тогда и только тогда, когда Фурье-образ $F[k](\omega) = (2\pi)^{\frac{n}{2}}\int_Xe^{−i\langle\omega,x\rangle }k(x)dx$ неотрицателен. |
9. Предел локально-равномерно сходящейся последовательности ядер {{---}} ядро. | 9. Предел локально-равномерно сходящейся последовательности ядер {{---}} ядро. | ||
| − | 10. Композиция произвольного ядра $K_0$ и произвольной функции $f:R\rightarrow R$, представимой в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами $K(x,x') = f(K_0(x,x'))$, является ядром. В частности, функции $f(z) =e^z$ и $f(z) =\frac{1}{1−z}$ | + | 10. Композиция произвольного ядра $K_0$ и произвольной функции $f:R\rightarrow R$, представимой в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами $K(x,x') = f(K_0(x,x'))$, является ядром. В частности, функции $f(z) =e^z$ и $f(z) =\frac{1}{1−z}$ где $z$ - функция ядра {{---}} являются ядрами. |
== Некоторые часто используемые функции == | == Некоторые часто используемые функции == | ||
| − | 0.Линейное $K(x, x')= \langle x, x'\rangle$ | + | 0. '''Линейное''' $K(x, x')= \langle x, x'\rangle$ |
Используется в алгоритме [[Метод опорных векторов (SVM) | SVM ]] по умолчанию. | Используется в алгоритме [[Метод опорных векторов (SVM) | SVM ]] по умолчанию. | ||
| − | 1.Полиномиальное ядро $K(x, x') = (\langle x, x' \rangle + R)^d$ | + | 1. '''Полиномиальное''' ядро $K(x, x') = (\langle x, x' \rangle + R)^d$ |
Используется когда необходимо получить полином $p(y)$, где в качестве y выступает скалярное произведение $\langle x, x' \rangle$. Поскольку в конструктивных возможностях у нас есть умножение ядер, умножение на коэффициент и сложение, то любой многочлен так же является ядром. | Используется когда необходимо получить полином $p(y)$, где в качестве y выступает скалярное произведение $\langle x, x' \rangle$. Поскольку в конструктивных возможностях у нас есть умножение ядер, умножение на коэффициент и сложение, то любой многочлен так же является ядром. | ||
| − | 2.Гаусово ядро RBF K(x, x') = $exp(-\frac{\parallel x - x'\parallel^2}{2\sigma^2})$ | + | 2. '''Гаусово''' ядро RBF K(x, x') = $exp(-\frac{\parallel x - x'\parallel^2}{2\sigma^2})$ |
Такое ядро соответсвует бесконечномерному пространству. Поскольку оно является пределом последовательности полиномиальных ядер при стремлении степени ядра к бесконечности. | Такое ядро соответсвует бесконечномерному пространству. Поскольку оно является пределом последовательности полиномиальных ядер при стремлении степени ядра к бесконечности. | ||
Версия 00:05, 23 марта 2020
Ядерный трюк(анг.-- kernel function) метод в машинном обучении, позволяющий перевести элементы для случая линейной неразделимости в новое линейно разделимое пространство. Такое пространство называют спрямляющим. Поскольку для любой непротиворечивой выборки соответствующее пространство большей размерности существует, главной проблемой становится его найти.
Содержание
Определение
Функция $K(x,x'):X×X\rightarrow \mathbb{R}$ называется ядром, если она может быть представлена в виде $K(x,x')=\langle \varphi(x),\varphi(x')\rangle_H$ при некотором отображении $\varphi(x):X\rightarrow H$,где $H$ — пространство со скалярным произведением.
Поскольку для задачи линейного разделения объектов не требуется их признаковое описание, а достаточно скаляров, то можно заменить скалярное произведение $\langle x,x'\rangle$ на ядро $K(x,x')$. Более того, можно вообще не строить спрямляющее пространство $H$ в явном виде, и вместо подбора отображения $\varphi$ заниматься непосредственно подбором ядра.
Можно пойти ещё дальше, и вовсе отказаться от признаковых описаний объектов. Во многих практических задачах объекты изначально задаются информацией об их попарном взаимоотношении, например, отношении сходства. Если эта информация допускает представление в виде двуместной функции $K(x,x')$, удовлетворяющей аксиомам скалярного произведения, то задача может решаться методом опорных векторов .
Выбор функции ядра
Теорема Мерсера: Функция $K(x,y)$ является ядром тогда и только тогда, когда она симметрична: $K(x,y)=K(y,x)$ и неотрицательно определена, то есть $\forall g: X \rightarrow \mathbb{R}, \int_X \int_X K(x, x')g(x)g(x')dxdx' \geqslant 0$
Таким образом мы видим, что класс ядер достаточно широк.
Проверка неотрицательной определённости функции в реальных задачах может быть сложной. Чаще всего ограничиваются перебором конечного числа функций, про которые известно, что они являются ядрами. Среди них выбирается лучшая (обычно по критерию скользящего контроля). Такое решение не будет оптимальным, и на сегодняшний день проблема выбора ядра, оптимального для данной конкретной задачи, остаётся открытой.
Конструктивные способы построения ядер
1.Произвольное скалярное произведение $ K(x,x') =\langle x,x'\rangle $ является ядром.
2. Константа $K(x,x') = 1$ является ядром.
3. Произведение ядер $K(x,x')=K_1(x,x')K_2(x,x')$является ядром.
4. Для любой функции $\psi :X\rightarrow R$ произведение $K(x,x′) =\psi(x)\psi(x')$— ядро.
5. Линейная комбинация ядер с неотрицательными коэффициентами $K(x,x')=\alpha_1K_1(x,x') +\alpha_2K_2(x,x')$является ядром.
6. Композиция произвольной функции $\varphi:X \rightarrow X$ и произвольного ядра $K_0$ является ядром: $K(x,x')=K_0(\varphi(x),\varphi(x'))$.
7. Если $s:X×X\rightarrow R$ произвольная симметричная интегрируемая функция, то $K(x,x′) =\int_Xs(x,z)s(x',z)dz$ является ядром.
8. Функция вида $K(x,x') = k(x−x')$ является ядром тогда и только тогда, когда Фурье-образ $F[k](\omega) = (2\pi)^{\frac{n}{2}}\int_Xe^{−i\langle\omega,x\rangle }k(x)dx$ неотрицателен.
9. Предел локально-равномерно сходящейся последовательности ядер — ядро.
10. Композиция произвольного ядра $K_0$ и произвольной функции $f:R\rightarrow R$, представимой в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами $K(x,x') = f(K_0(x,x'))$, является ядром. В частности, функции $f(z) =e^z$ и $f(z) =\frac{1}{1−z}$ где $z$ - функция ядра — являются ядрами.
Некоторые часто используемые функции
0. Линейное $K(x, x')= \langle x, x'\rangle$ Используется в алгоритме SVM по умолчанию.
1. Полиномиальное ядро $K(x, x') = (\langle x, x' \rangle + R)^d$
Используется когда необходимо получить полином $p(y)$, где в качестве y выступает скалярное произведение $\langle x, x' \rangle$. Поскольку в конструктивных возможностях у нас есть умножение ядер, умножение на коэффициент и сложение, то любой многочлен так же является ядром.
2. Гаусово ядро RBF K(x, x') = $exp(-\frac{\parallel x - x'\parallel^2}{2\sigma^2})$
Такое ядро соответсвует бесконечномерному пространству. Поскольку оно является пределом последовательности полиномиальных ядер при стремлении степени ядра к бесконечности.
См. также
Примечания
