9
правок
Изменения
Дописал докозательство теоремы Кантора. Проверьте плизз, а то у меня не совсем чётко в конспекте написано.
Допустим, что это не так. Тогда, по логическому отрицанию: <tex>\exists \varepsilon_0 > 0~ \, \forall \delta > 0~ \exists {x'}_\delta, {x''}_\delta \in K: \rho({x'}_\delta, {x''}_\delta) < \delta ; \rho(f({x'}_\delta), f({x''}_\delta)) \ge \varepsilon_0; </tex>
Рассмотрим:<tex> \partial_{n}=\frac{1}{n}: {x}'_{n}={x}'_{\partial_{n}}, {x}''_{n}={x}''_{\partial_{n}}, \rho({x}''_{n},{x}'_{n})< \frac{1}{n}; \rho(f({x}''_{n}),f({x}'_{n}))\geq \varepsilon _{0}</tex>
т.к. K {{---}} компакт, т.е. в послед <tex>{x}'_{n}</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность меньшую <tex> \frac{1}{{n}'_{k}}</tex>следовательно стремящуюся к нулю. <tex>{x}'_{n_{k}} \rightarrow x\in K</tex> <tex>\rho ({x}''_{n_{k}},x)< \rho({x}''_{nn_{k}},{x}'_{nn_{k}})< + \fracrho ({1x}'_{nn_{k}}; ,x) \rho(f(rightarrow 0</tex> <tex>{x}''_{nn_{k}}\rightarrow x</tex> т.к. f {{---}})непрерывна на K,из получаем <tex>f({x}'_{nn_{k}})\rightarrow f(x)\geq \varepsilon _{0}</tex>, значит растояние между ними стремится к нулю: противоречие. Как то так.
}}
