Теорема Хаусдорфа об ε-сетях

Некоторые определения

Пусть [math]X[/math] — метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности за аксиому, приходим к понятию полного метрического пространства: [math]\rho(x_n, x_m) \to 0 \Rightarrow \exists x \in X: \ \rho(x, x_n) \to 0[/math]

Например, в связи с критерием Коши, [math]\mathbb{R}[/math] — полное метрическое пространство.

Определение:

Пусть [math]A, B \subset X[/math], [math]\varepsilon \gt 0[/math]. Тогда [math]B[/math] — [math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]A[/math], если [math]\forall a\in A\ \exists b \in B: \ \rho(a, b) \lt \varepsilon[/math].

Особый интерес представляют конечные [math]\varepsilon[/math]-сети.

Определение:

[math]A \subset X[/math] — вполне ограничено в [math]X[/math], если [math]\forall \varepsilon \ \exists [/math] конечная [math]\varepsilon[/math]-сеть.

Теорема Хаусдорфа

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Longrightarrow[/math] Пусть [math]K[/math] — компакт. Предположим, что [math]K[/math] — не вполне ограниченно. Тогда [math]\exists \varepsilon_0 \gt 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) \ge \varepsilon_0[/math]. Если такого [math]x_2[/math] нет, то [math]K[/math] имеет [math]\varepsilon_0[/math]-сеть [math]\{x_1\}[/math]. Тогда найдётся [math]x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}[/math]. Если бы такого [math]x_3[/math] не было, то у [math]K[/math] была бы [math]\varepsilon_0[/math]-сеть [math]\{x_1, x_2\}[/math]. И так далее. Получаем набор точек [math]x_1, x_2, \ldots[/math], [math]\forall i \ne j: \ \rho(x_i, x_j) \geqslant \varepsilon_0[/math]. Так как [math]K[/math] — компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, получили противоречие. [math]\Longleftarrow[/math] [math]K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно. Рассмотрим любую последовательность [math]x_n[/math] в [math]K[/math]. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как множество вполне ограничено, то [math]\forall \varepsilon[/math] оно будет содержаться в конечном объединении шаров радиуса [math]\varepsilon[/math]. Рассмотрим последовательность [math]\ \varepsilon_n = \frac1n[/math]. Она сходится к нулю. Так как [math]K[/math] — вполне ограниченна, то можно найти точки [math]y_1, y_2, \ldots, y_p[/math] — [math]\varepsilon[/math]-сеть для [math]K[/math]. [math]K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilon_1}(y_k)[/math] Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное число элементов последовательности. [math]\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni [/math] бесконечно много элементов из [math]x_n[/math]. Обозначим [math]V_{\varepsilon_1}(y_i)\ [/math] как [math]\overline{V_{\varepsilon_1}} [/math]. Пусть [math]K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K[/math] — замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса [math]\varepsilon_2[/math]. Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов [math]x_n[/math]. И так далее... В результате выстраивается следующая бесконечная таблица: [math] \begin{tabular}{c|cccc} $\varepsilon_1$ & $x_{1, 1}$ & $x_{1, 2}$ & $x_{1, 3}$ & \ldots \\ \hline $\varepsilon_2$ & $x_{2, 1}$ & $x_{2, 2}$ & $x_{2, 3}$ & \ldots \\ \hline $\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\ \hline $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\ddots$ \\ \end{tabular} [/math] В первой строке бесконечно много элементов [math]x_n[/math] из [math]\overline{V_{\varepsilon_1}}[/math]. Во второй строке бесконечно много элементов из [math]\overline{V_{\varepsilon_2}} [/math]. И так далее. Рассмотрим последовательность точек [math]x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots[/math](диагональ Кантора) Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится в себе, то, так как [math]X[/math] — полное, у неё будет предел. Так как [math]K[/math] — замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей. Рассмотрим [math]\rho(x_{n + p, n + p}, x_{n, n})[/math] Так как [math]x_{n + p, n + p}[/math] есть в [math]n[/math]-й строке, то [math]\rho \leq 2\varepsilon_n[/math]. Так как [math]\varepsilon_n \to 0[/math], последовательность сходится в себе, то, по полноте [math] X [/math], у неё есть предел.

[math]\triangleleft[/math]