Участник:Masha

Формула Бержа

Лемма:

[math](n + |S| + odd(G \setminus S)) \; mod \; 2 = 0[/math], где [math]G[/math] - граф с [math]n[/math] вершинами, [math]S \in {V}_{G}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Удалим из графа [math]G[/math] множество [math]S[/math], получим [math]t[/math] компонент связности, содержащих [math]k_1, k_2 ... k_t[/math] вершин соответсвенно. [math]|S|\; + \; \sum_{i=1}^{k}k_i = n[/math] т. к в сумме это все вершины исходного графа [math]G[/math]. Возьмем данное равенство по модулю два: [math](|S|\; mod\; 2 \; + \; \sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math] В сумме [math]\sum_{i=1}^{k}(k_i \; mod \; 2)[/math] число единиц равно числу нечетных компонент [math]odd(G \setminus S)[/math]. Таким образом, [math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]def G = \max\limits_{S \in V} (odd(G \setminus S) - |S|)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \forall S \in V \; (odd(G \setminus S) + |S|) \; mod \; 2 = n \; mod \; 2[/math] Рассмотрим несколько случаев: 1) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = 0 [/math], тогда [math]\forall \; S \in \; V: \; odd(G \setminus S) \leq |S| \; [/math] и выполнен критерий Татта, значит, в графе есть совершенное паросочетание, т.е. его дефицит равен нулю. 2) Если [math] \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k [/math], тогда рассмотрим исходный граф [math]G[/math] и полный граф [math]K_k[/math] с [math]k[/math] вершинами, множество вершин нового графа обозначим как [math]W[/math]. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной [math]G[/math]. Получим новый граф [math]H \; = \; K_k + G[/math], докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что [math]\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) \; \leq \; |S| \; [/math]. Рассмотрим [math]S \subset V_H\;[/math]. Если не [math]W \subset S[/math], тогда посколько граф [math]K_k[/math] полный, и все его вершины связаны с каждой вершиной графа [math]G[/math], то граф [math]H[/math] связный и [math]odd(H \setminus S) = 0[/math] или [math]odd(G \setminus S) = 1[/math]. В случае [math]odd(H \setminus S) = 0[/math] условие очевидно выполняется т.к [math]\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|[/math]. Рассмотрим случай [math]odd(H \setminus S) = 1[/math], [math]|V_H| = n + k = n + odd(G \setminus A) - |A|[/math], где [math]A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) [/math]. Разность [math]odd(G \setminus A) - |A|[/math] имеет ту же четность, что и [math]n[/math], поэтому [math]|V_H|[/math] четно, значит, по лемме мощность [math]S[/math] нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит [math] 1 \leq |S| [/math]. Если [math]W \subset S[/math], то [math]odd(H \setminus S) = odd(G \setminus (S \cap V)) \leq |S \cap V| + k \leq |S| [/math]. Таким образом, для графа [math]H[/math] выполнено условие Татта, следовательно, в нём есть полное паросочетание. Рассмотрим полное паросочетание в графе [math]H[/math], удалим вершины [math]W[/math] из графа [math]H[/math]. Количество непокрытых вершин после удаления не больше, чем количество удаленных вершин [math]k[/math], значит, [math]def(G) \leq k[/math]. Удалим множество вершин [math]A = arg \max\limits_{S \in V}(odd(H \setminus S) - |S|) [/math] из графа [math]G[/math]. Заметим, что после удаление в графе осталось несколько нечетных компонент и образовались новые непокрытые вершины, но при этом осталось на k больше нечетных компонент, чем мы удалили, значит, хотя бы k нечетных компонент содержали исходно непокрытую вершину, значит, [math]k \leq def(G)[/math]. Значит, [math]def(G) = k[/math]. Теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

— Лекция А.С. Станкевича