Множества — различия между версиями
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии) |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | {| class="wikitable" align="center" style="color: red; background-color: black; font-size: 56px; width: 800px;" | ||
+ | |+ | ||
+ | |-align="center" | ||
+ | |'''НЕТ ВОЙНЕ''' | ||
+ | |-style="font-size: 16px;" | ||
+ | | | ||
+ | 24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. | ||
+ | |||
+ | Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. | ||
+ | |||
+ | Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. | ||
+ | |||
+ | Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. | ||
+ | |||
+ | ''Антивоенный комитет России'' | ||
+ | |-style="font-size: 16px;" | ||
+ | |Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению. | ||
+ | |-style="font-size: 16px;" | ||
+ | |[https://meduza.io/ meduza.io], [https://www.youtube.com/c/popularpolitics/videos Популярная политика], [https://novayagazeta.ru/ Новая газета], [https://zona.media/ zona.media], [https://www.youtube.com/c/MackNack/videos Майкл Наки]. | ||
+ | |} | ||
+ | |||
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]] | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]] | ||
Версия 08:45, 1 сентября 2022
НЕТ ВОЙНЕ |
24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России |
Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению. |
meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки. |
Содержание
Определения
Определение: |
Множество — первичное математическое понятие, которому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, объединенных общим свойством. |
Определение: |
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами этого множества. Если | — элемент множества , то записывают (« принадлежит »). Если не является элементом множества , то записывают (« не принадлежит »). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.
Способы задания множеств
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Перечисление
Первый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, входящих в множество.
Описание
Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.
, где — определенное свойство элемента .
Отношения между множествами
Два множества
и могут вступать друг с другом в различные отношения.Включение
Равенство
Общие элементы
-
- и не пересекаются
и не пересекаются, если у них нет общих элементов:
Специальные множества
Определение: |
Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как | .
Определение: |
Универсальное множество — множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как | .
Операции над множествами
Бинарные операции над множествами
- Пересечение
- Объединение
- Разность
- Симметрическая разность
Унарные операции над множествами
- Дополнение определяется следующим образом:
- .
Теорема де Моргана
Теорема (де Моргана): |
Доказательство: |
Докажем первое утверждение, второе доказывается аналогично. Для того, чтобы доказать равенство множеств, докажем, что первое множество включает второе и наоборот (частый приём при доказательстве равенства двух множеств). Сначала докажем, что .Пусть . Значит, такого, что . Следовательно, . В силу выбора (любой элемент множества ) следует искомое включение.
Пусть Аналогично, в силу выбора . Тогда . Поскольку не входит ни в одно объединяемое множество, то выполняется искомое включение. |
Теорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. То есть, имея некоторое верное равенство, содержащее объединения и пересечения, можно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот. Например, из равенства
Доказывается это следующим образом: равны множества, значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к написанному равенству.