Сравнения

Сравнения по модулю

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.

Сравнимость для a и b записывается так :
[math]a \equiv b(mod \text{ } m)[/math]

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

• 1. Возможности представить a в форме [math]\Huge{a = b + mt}[/math], где t - целое.
• 2. Делимости [math]\Huge{a - b}[/math] на m.

Арифметика сравнений

Свойства сравнений

• 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой. [math]a \equiv c(mod \text{ }m) \text{, } b \equiv c(mod \text{ }m) \Rightarrow a \equiv b(mod \text{ }m)[/math]
• 2. Сравнения можно почленно складывать. [math] a_1 + a_2 + a_3 \equiv b_1 + b_2 + b_3(mod \text{ }m)[/math]
• 3. Сравнения можно почленно перемножать. [math] a_1a_2a_3 \equiv b_1b_2b_3(mod \text{ }m)[/math]
• 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний не взаимно прост с модулем.
• 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число, кроме общего делителя.
• 6. Обе части сравнения и модуль можно умножить на их общий делитель.
• 7. Если сравнение [math]a\equiv b[/math] имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному НОК этих модулей.
• 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
• 9. Если одна часть сравнения и модуль не делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения не должна делится на это число, кроме некоторых исключений.
• 10. Если [math]a \equiv b(mod \text{ }m) [/math], то [math](a,m) = (b,m) [/math].

Полная и приведенная система вычетов

Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме [math]mt + r [/math] заставим t пробегать все целые числа. Таким образом для каждого значения остатка имеется свой класс чисел.

Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при [math] t = 0[/math], равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Согласно 10-му свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.