Предельный переход под знаком интеграла Лебега

<< >>

Ранее для интеграла Римана был получен результат: если [math]f_n \rightrightarrows f [/math] на [math][a;b][/math], [math]f_n \in \mathcal{R}(a, b)[/math], то [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math].

Равенство, подобное [math] \lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{b} f_n = \int \limits_{a}^{b} f[/math], называется предельным переходом под знаком интеграла.

Рассмотрим пример:

[math]f_n = \begin{cases}n^2x+n, & x \in [-\frac1n; 0)\\ -n^2x+n, & x \in [0; \frac1n]\\ 0, & x \in [-1; 1] \setminus [-\frac1n; \frac1n] \end{cases}[/math];

[math]\int \limits_{-1}^{1} f_n = 1[/math], [math]f_n(k) \to 0[/math] почти всюду на [math][-1;1][/math], но [math]\int \limits_{-1}^{1} 0 = 0 [/math].

Следовательно, [math]\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} f_n \ne \int \limits_{-1}^{1} f[/math].

Теорема (Лебег):

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n[/math], [math]f[/math] — измеримы на [math]E[/math], [math] |f_n(x)| \le M\ \forall n[/math] на [math]E[/math]. Если [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math] и [math] f [/math] ограничена, тогда [math]\int \limits _{E} f_n \to \int \limits_{E} f[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math], тогда по теореме Риcса [math]f_{n_k} \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. [math]|f_{n_k}(x)| \le M[/math] при [math]k \to \infty[/math], [math]|f(x)| \le M [/math], следовательно, существует [math] \int \limits_{E} f[/math]. Осталось доказать предельное равенство: Как обычно, [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math] [math]E_{\varepsilon} = E(|f_n - f| \ge \varepsilon)[/math], [math]\bar{E_{\varepsilon}} = E \setminus E_{\varepsilon}[/math], [math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le \int \limits_{E} |f_n - f| = \int \limits_{E_{\varepsilon}} + \int \limits_{\bar{E_{\varepsilon}}}[/math], [math]|f_n - f| \le 2M [/math], следовательно, [math] \int \limits_{E_{\varepsilon}} |f_n - f| \le 2M \mu E_{\varepsilon}[/math]. [math]\int \limits_{\overline E_{\varepsilon}}|f_n - f| = \int \limits_{E(|f_n - f| \lt \varepsilon)} |f_n - f| \le \varepsilon \mu \bar{E_{\varepsilon}} \le \varepsilon \mu E[/math], тогда [math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le 2M \mu E_{\varepsilon} + \varepsilon\mu E[/math]. В силу сходимости по мере, [math]\mu E_{\varepsilon} \to 0[/math], следовательно, начиная с некоторого [math]N[/math], [math]|\int \limits_{E} f_n - \int \limits_{E} f| \le (2M+\mu E) \varepsilon[/math]. Так как [math]\varepsilon \to 0[/math], то теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Если сравнить это доказательство с доказательством аналогичной теоремы для интеграла Римана, то видим разницу: по сравнению с последней, теорема Лебега технически элементарна. Это объясняется тем, что интеграл Лебега можно брать по любому измеримому множеству, а интеграл Римана привязан к отрезку.

<< >>